1、第三部分 增分篇 策略一 活用4大数学思想2.数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用 1 解决方程的根或函数零点问题【典例 1】(1)已知函数 f(x)12x34，x2，log2x，0 x2.若函数 g(x)f(x)
2、k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是_(2)设方程 10 x|lg(x)|的两个根分别为 x1，x2，则()Ax1x20 Bx1x21Cx1x21 D0 x1x21(1)34，1 (2)D(1)画出函数 f(x)的图象如图 要使函数 g(x)f(x)k 有两个不同零点，只需 yf(x)与 yk 的图象有两个不同的交点，由图象易知 k34，1.(2)本题考查函数的性质，在同一坐标系下，画出函数 y10 x 与 y|lg(x)|的图象(图略)，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(，1)，另一个交点横坐标属于(1,0)，即在 x1，x2 中，其中一个属于(，1)，另
3、一个属于(1,0)，不妨设 x1(，1)，x2(1,0)，则有 10 x1|lg(x1)|lg(x1)，10 x2|lg(x2)|lg(x2)，10 x110 x2lg(x1)lg(x2)lg(x1x2)0，故 0 x1x21，故选 D.用图象法讨论方程特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程的解或函数零点的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解或函数零点的个数.14，当 x0 时，显然是方程的一个实数解；当 x0 时，方程|x|x4kx
4、2 可化为 1k(x4)|x|(x4)，【对点训练 1】若关于 x 的方程|x|x4kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为_则f(x)(x4)|x|x24x，x0，x24x，x0且x4 的大致图象如图所示，由图，易得 01k4，解得 k14.所以 k 的取值范围为14，.【对点训练 2】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x1)f(x1)，当 x1,0时，f(x)x3，则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在52，12 上的所有实数解之和为_7 因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数 f(x)的周期为 2.又当 x1,0时，f(x
5、)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数 yf(x)与 y|cos x|的图象如图所示 由图象知关于 x 的方程 f(x)|cos x|在52，12 上的实数解有 7个 不妨设 x1x2x3x4x5x6x7，则由图得 x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程 f(x)|cos x|在52，12 上的所有实数解的和为42107.应用 2 求解不等式或参数范围【典例 2】若不等式 4x2logax0 对任意 x0，14 恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.1256，1B.1256，1C.0，1256D.0，1256B 由已知 4x21时，不成立，当0a1时，如图，只需 loga1
6、44142a1414a 1256，又 0a1，故 a1256，1.故选 B.求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个或多个函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.【对点训练 3】设 A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，则使 AB 成立的实数 m 的取值范围是_ 21，)集合 A 是一个圆 x2(y1)21 上的点的集合，集合 B 是一个不等式 xym0表示的平面区域内的点的集合，要使 AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线 xym0 应与圆相切或相离(在圆的下方)
7、，而当直线与圆相切时有|m1|2 1，又 m0，所以 m 21，故 m 的取值范围是 21，)，12 作出 y|x2a|和 y12xa1 的简图，依题意知应有 2a22a，故 a12.【对点训练 4】若不等式|x2a|12xa1 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_应用 3 求解解析几何问题【典例 3】(2019成都模拟)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点分别为 A1，A2，左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2 为直径的圆与直线 PF2 相切，则双曲线 C 的离心率为()A.2 B.3 C2 D.5D 如图
8、所示，设以 A1A2 为直径的圆与直线 PF2 的切点为 Q，连接 OQ，则 OQPF2.又PF1PF2，O 为 F1F2 的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2 中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24a216a220a24c2eca5.1在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便.2应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可
9、考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.【对点训练 5】已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为()A7 B6 C5 D4B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且|AB|2m，因为APB90，连接 OP，易知|OP|12|AB|m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为|OC|32425，所以|OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为 6.【对点训练 6】已知 P 是直线 l：3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆
10、x2y22x2y10 的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为_2 2 由题意知圆的圆心 C(1,1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 SPAC12|PA|AC|12|PA|越来越大，从而 S 四边形 PACB 也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动，S 四边形 PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l 时，S 四边形 PACB 应有唯一的最小值，此时|PC|31418|32423，从而|PA|PC|2|AC|22 2，所以(S 四边形PACB)min212|PA|AC|2 2.Thank you for watching!