1、5.2 平面向量基本定理及坐标运算 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 5.2平面向量基本定理及坐标运算双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理1平面向量的基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中_的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_ 不共线不共线基底2平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y使得axiyj，我们把(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a_其中x叫做a在x轴上的坐标
2、，y叫做a在y轴上的坐标，(x，y)叫做向量a的坐标表示 与a相等的向量的坐标也为(x，y)显然i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)(x，y)3平面向量的坐标运算(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)则ab_，ab_(2)已知a(x，y)和实数，那么a_(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)则ab的充要条件是_0.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x，y)x1y2x2y1(4)若 a(x，y)，则|a|x2y2.(5)若点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则MN(x2x1，y2y1)思考感悟：1向量的坐标与点的坐标有什么区别与联系？提示：向量的坐标是用有向
3、线段的起点和终点的坐标来计算的，即终点的坐标减起点的同名坐标，当起点在坐标原点时，终点的坐标就是该向量的坐标2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab的充要条件能表示成x1x2y1y2吗？提示：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.同时，ab 的充要条件也不能错记为：x1x2y1y20，x1y1x2y20 等思考感悟：1(教材例4改编)若a(x,2)，b(6,3)，且ab，则x为()A1 B2 C3D4 答案：D 课前热身2若向量a(3,2)，b(0，1)，则向量2ba的
4、坐标是()A(3,4)B(3,4)C(3，4)D(3，4)答案：D 3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且BC 2AD，则顶点 D的坐标为()A(2，72)B(2，12)C(3,2)D(1,3)答案：A 4在ABC 中，ABa，BCb，若 O 为ABC的重心，则BO _(用 a、b 表示)答案：13(ba)5下列各组向量中e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(12，34)，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是_答案：考点探究挑战高考 考点突破 平面向量基本定理 平面向量基本定理是用已知向量来表示未
5、知向量的理论依据实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算，参考教材5.3中的例4的解法例1【思路分析】分别在ADM 和ABN 中，利用三角形法则AM A D D M，A N A B B N.【名师点评】本题构造了向量方程组通过解方程组求得AB，A D 的表达式向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用，参考教材5.4的例3.平面向量的坐标运算例2 已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，B C b，C A c，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的
6、实数 m，n.【思路分析】首先利用点的坐标求出向量坐标，再按坐标运算法则求向量坐标【解】aA B(3，1)(2,4)(5，5)；bB C(3，4)(3，1)(6，3)；cC A(2,4)(3，4)(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.【思维总结】向量加减法的坐标运算就是向量在x轴上的相应坐标、在y轴上的相应坐标之间的加减运算，是向量的代数运算形式 互动探究1 向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法，参考本节教材
7、例4，例5向量共线的坐标运算平面内三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，若d满足(dc)(ab)且d的起点为坐标原点，求d终点的轨迹方程【思路分析】设d(x，y)，用坐标表示dc和ab，根据向量共线关系寻求x、y的关系式 例3【解】设 d(x，y)，dc(x，y)(4,1)(x4，y1)而 ab(3,2)(1,2)(2,4)又(dc)(ab)x42 y14.2xy70，即为 d 终点的轨迹【思维总结】向量共线，主要是依据“相等向量的坐标相同”这一原则建立关系式 互动探究2 在本例的基础上，若(akc)(2ba)，求实数k.解：akc(34k,2k)，2ba(5,2)，又(akc)(
8、2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k1613.方法技巧(1)在一个复杂的几何图形中恰当地选择两个不共线向量来表示其他向量，然后进行运算是解决向量问题的基本方法，如例1.(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解，如例2.(3)如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是：x1y2x2y10”比较简捷，如例3.方法感悟失误防范(1)形同意不同：要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样有方向与大小的信息，如例2中点与向量的关系(2)a
9、b的充要条件有两种表达形式：ab(b0)ab(R)；设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同，第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0.而第(2)种是用坐标形式表示的，且没有b0的限制(3)由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底向量考向瞭望把脉高考 考情分析近两年的高考试题，用坐标表示的平面向量的线性运算成为高考的热点，尤其是对向量共线的充要条件及平面向量的基本定理的考查，试题多以选择题，填空题的形式出现，属容易题，命题者意在此突出考查学生基础及数形结合思想的运用在2010年的高考中，陕西理第11题考查了向量加法及平行坐标运算
10、，大纲全国卷理第8题考查了向量的基本定理预测2012年的高考中，这部分若是单独考查仍以填空题或选择题的形式出现，属于基本计算，知识集中于基本定理及线性运算命题探源例【解析】选 B.如图所示，12，|CB|CA|BD|DA|12，【名师点评】本题主要考查平面向量的几何运算及基本定理的运用，侧重考查运算能力，难度适中，这种题型在教材中多处出现此题入手点是CD CBBD 或是CD CA AD，其难点是角平分线的运用来确定 D 在 BA 的位置，这也是某些考生错选为 A 的原因名师预测1已知 A(a,0)、B(0，a)(a0)，APtAB(0t1)，O为坐标原点，则|OP|的最大值为()A.32 a
11、B.22 aC.12 aDa解析：选 D.由题意知，OPtOB(1t)OA(ata，ta)，|OP|2t22t1a2t12212a，故 t0 或 1 时，|OP|取得最大值 a，选 D.2已知平面向量a(1,2)b(2，m)，若ab，则2a3b()A(2,7)B(4,7)C(2,3)D(4,5)解析：选B.因为a(1,2)，b(2，m)，且ab，所以ab0，即1(2)2m0，所以m1，所以2a3b(4,7)3设向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0，若|2ab|a2b|，则()A.2B2C.4D4解析：选 A.2ab(2coscos，2sinsin)a2b(cos2cos，sin2sin)，由|2ab|a2b|得(2coscos)2(2sinsin)2(cos2cos)2(sin2sin)2，cos()0，又0.0.2.4设向量 a(3，3)，b 为单位向量，且 ab，则 b()A(32，12)或(32，12)B(32，12)C(32，12)D(32，12)或(32，12)解析：选 D.设 b(x，y)，由 ab 可得 3y 3x0，又 x2y21 得 b(32，12)或 b(32，12)，故选 D.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
