1、5.1 平面向量的概念及运算 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 5.1平面向量的概念及运算双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(或模)(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量 大小方向长度长度为0任意1个单位长度(4)平行向量：方向_或_的_向量，平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一条直线上 规定：0与任一向量_(5)相等向量：长度_且方向_的向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量 相同相反非零共线向量平行相等相同相等相反2向量的加法和减法(1)加法 法则：服从
2、三角形法则、平行四边形法则，运算性质：ab_(交换律)；(ab)c_(结合律)；a0_.(2)减法 减法与加法互为逆运算；法则：服从三角形法则 baa(bc)0aa3实数与向量的积(1)长度与方向规定如下：|a|_；当_时，a与a的方向相同，当_时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设、R，则：(a)_；()a_；(ab)_.4两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_.|a|0|ab|D若a、b为两个方向相同的向量，则|ab|a|b|【思路分析】本题从平面向量的共线、模等概念上判定 例1【解析】A正确，符合向量共线的定义；B正确，相等向量，模和方
3、向都相同；C错误，|ab|与|ab|的大小不确定；当a与b成锐角或同向时，有|ab|ab|；当a与b垂直时，有|ab|ab|；当a与b成钝角反向时，有|ab|ab|；D正确【答案】C【名师点评】用有向线段或平行四边形的边及对角线体会向量的模、平行向量、相等向量 这三种运算，主要是通过几何法则来运算，要转化到平行四边形或者三角形中参考习题5.3中第7题向量的加法、减法与数乘例2如图，ABC 中，AD23A B，DEBC 交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM交 DE于 N.设AB ABa，A Cb，计算 3AEB C M N.【思路分析】充分利用三角形法则及数乘运算如AE 23 A C、M N
4、 13 A M.【解】DEBC，ADABAEAC.又AD23AB，A E 23 A C，3AE 2AC，【思维总结】本题的结果就是用已知向量a和b来表示，在转化过程中利用三角形体现向量加、减法互动探究1向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值无论上述哪种题型都离不开共线向量定理，参考教材例2.共线向量例3【思维总结】证明三点共线，转化为向量是否共线，且有公共点 互动探究2方法技巧1向量的三角形法则的应用与推广(1)向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使它们首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量就
5、是这些向量的和向量方法感悟(2)向量减法的三角形法则的应用，应先平移两个向量使其具有相同的起点，连结两个终点，方向指向被减向量的终点就是两个向量的差，可简记为“共起点，连终点，方向指向被减点”如例2.2两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到欲求向量，如例3.失误防范10 与实数 0 有区别，0 的模为数 0，它不是没有方向，而是方向不定.0 可以看成与任意向量平行2相等向量一定是共线向量，共线向量不一定是相等向量3与 a 共线的单位向量有两个，它们是a|a|.4利用两
6、个向量共线的充要条件解题时，忽视其中“非零向量”的限制，会造成不该有的错误，要注意到零向量的特殊性、方向的任意性5利用共线向量定理证明三点共线问题时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线如例3互动探究考向瞭望把脉高考 考情分析关于向量基本概念及其相关的基本理论在高考试题中多以选择、填空的形式出现，特别是向量加减法的运算及其几何意义在试题的难易程度上加强了一些，近几年全国的新课程试卷，要求考生能在深刻理解向量的相关概念及运算的基础上综合运用，具有一定的创新理念尤其是向量与三角形的结合试题虽小，但巧妙新颖2010年的高考中，大纲全国卷理第8题在三角形中考
7、查向量的线性运算湖北理第5题，四川理第5题等考查了向量的共线，加减法运算及模的概念等预测2012年高考中，对这部分的考查，其题目属基本运算类，以填空题或选择题的形式出现1个题目，特别是向量的共线的有关概念或与三角形性质结合的题目，可能性较大命题探源(2010 年高考四川卷)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，B C 216，|A BA C|A B A C|，则|AM|()A8 B4C2D1【解析】：选 C.BC216，|BC|4，又|A B A C|CB|4，|A B A C|4.M为 BC中点，A M 12(A B A C)|A M|12|A B A C|2.【名师点评
8、】本题主要考查了向量的加法，减法运算，向量的模及向量中点公式的应用或数形结合思想，难度属于容易题 此题入手点较广，本解法主要从向量的加减法运算上入手，这与教材5.3节中例4很类似，另外根据教材复习参考题五中B组第3题的结论ab|ab|ab|来入手：|A B A C|A B A C|ABC 中，A2，BC 是斜边，则 AM12BC2，更体现了向量与三角形的密切关系及数形结合的应用名师预测解析：2下列命题正确的是()A单位向量都相等B若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C若|ab|ab|，则ab0D若a与b都是单位向量，则ab1解析：选C.对于选项A，单位向量方向任意，大小相等，故选项A错误；对于选项B，若b为零向量，则a、c不一定共线，故选项B错误；对于选项C，根据向量的几何意义，对角线相等的四边形是矩形，所以ab0，故选项C正确；对于选项D，单位向量可能有夹角，所以不一定是ab1，故选项D错误故选C.3已知向量a、b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选 D.cd，cd，即 kab(ab)，又 a、b 不共线，k，1，1，k1.cd，c 与 d 反向解析：本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用