1、吴忠中学20192020学年高二年级开学考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上）1.已知集合，集合，则符合条件的集合的子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列举出集合中的运算，利用子集个数公式可得出结果.【详解】，因此，符合条件的集合的子集个数为.故选：C.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，解答的关键就是求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.2.若函数的单调递增区间是，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将函数的解析式表示
2、为分段函数的形式，求出该函数的单调递增区间，即可得出实数的值.【详解】，则函数的单调递增区间为，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调区间求参数，考查计算能力，属于基础题.3.已知直线，若且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线平行与垂直求出实数、的值，进而可计算出的值.【详解】，则，解得，则，解得.因此，.故选：D.【点睛】本题考查根据两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.4.已知、是两条不同直线，、是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】利用面面垂直的性质定理可
3、判断A选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C选项的正误；利用线面平行和面面平行的性质定理可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，若，则与平行或相交，A选项错误；对于B选项，若，则，B选项正确；对于C选项，若，则与平行、相交或异面，C选项错误；对于D选项，若，则与平行或相交，D选项错误.故选：B.【点睛】本题主要考查空间直线和平面、平面和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理5.函数的图象是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.考点：函数的图
4、象与性质6.已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】由题意，故选C7.各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥的侧棱长为，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4 =3a2故答案为D点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，
5、一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ） A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】首先根据函数的图象求出该函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解析式，然后利
6、用函数图象的平移变换可得出结果【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，由于函数在附近单调递减，则，则，所以，因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点向左平移个单位长度.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数图象求函数解析式，以及三角函数图象变换，考查计算能力，属于中等题.9.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是、，给出编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论【详解】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图
7、和俯视图分别为，故选：C.【点睛】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题10.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.角满足，则的值为（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义可得出和的值，分和两种情况讨论，利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】，.由任意角的三角函数的定义可得，.当时，；当时，.综上所述，或.故选：A.【点睛】本题考查三角函数求值，涉及两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11.已知直线 与圆交于两点，且为等边三角形，则圆的面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆方程可
8、化为 圆心到直线的距离 ，故选D.12.对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令得，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，并根据定义得出的解析式，作出函数的图象即可得出答案【详解】令得，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，若，即，解得.若，即，解得或.作出函数的图象如下图所示：如图所示，当或时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数的零点个数求参数，解题的关键就是作出函数的图象，考查数形结合思想的应用，属于中档题二、填空题（本大题4小题，
9、每小题4分，共16分.把正确答案填在题中横线上）13.已知幂函数的图象过点，则_【答案】【解析】试题分析：因为是幂函数，所以，得，.考点：幂函数的定义.14.化简_.【答案】【解析】【分析】通分，利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式可化简所求代数式.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数值化简计算，涉及二倍角降幂公式的应用，考查计算能力，属于中等题.15.在平行四边形中，为的中点.若，则的长为_.【答案】【解析】【分析】利用基底、表示向量，然后利用平面向量数量积的运算律可求得的长.【详解】如下图所示：是的中点，四边形为平行四边形，解得.故答案：.【点睛】本题考查向量模的计算，选择合适的基底
10、表示向量是解答的关键，考查了平面向量数量积运算律的应用，考查运算求解能力，属于中等题.16.在函数的图象上求一点，使到直线的距离最短，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得点的坐标.【详解】设点的坐标为，则点到直线的距离为，当时，即当时，取最小值，因此，点的坐标为.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线上到直线距离最小的点的坐标的求解，考查点到直线的距离公式和二次函数的基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.平面向量，已知，.（1）求向量和向量；（
11、2）求与夹角和.【答案】（1），；（2）与的夹角为，.【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示可求得的值，利用垂直向量的坐标表示可求得的值，由此可计算出向量和向量的坐标；（2）计算出的值，可求得与的夹角，利用向量模的坐标计算公式可求出.【详解】（1），且，所以，解得，因此，；（2），则，即与的夹角为.，因此，.【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了向量夹角与模的计算，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知圆，直线.（1）当为何值时，直线与圆相切.（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，得出圆
12、的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数的值，进而可得出直线的方程.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为，当直线与圆相切时，则，解得；（2）由题意知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.因此，直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.19.已知定义在上的函数是奇函数.（1）求实数的值，并求函数的值域；（2）若集
13、合为值域，集合，集合，求.【答案】（1），值域为；（2）.【解析】【分析】（1）利用奇函数定义得出，化简计算可求得实数的值，令，用表示，结合可求出的取值范围，即为函数的值域；（2）求出集合、，利用补集和交集的定义可求出集合.【详解】（1）因为函数是奇函数，则，即，解得，.由得，得，即，解得.因此，函数的值域为；（2）由于对数函数为上的增函数，当时，则，则，且，因此，.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了函数值域以及集合的混合运算，考查计算能力，属于中等题.20.已知三棱柱的底面是正三角形，侧面为菱形，且，平面平面，、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求与平面
14、所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理即可得出结论；（2）取的中点，连接、，证明出平面，进而可证明出；（3）连接，证明出平面，可得出与平面所成的角为，通过解可得出的值.【详解】（1）如图，连接交于点，连接、，则为的中点， 在三棱柱中，且，、分别为、的中点，所以，且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，平面，平面，因此，平面；（2）取的中点，连接、，四边形为菱形，则，、分别为、的中点，则.为等边三角形，为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，；（3）由
15、（2）知，平面，所以，直线与平面所成的角为，则为等边三角形，所以，同理可得，平面，平面，则为等腰直角三角形，且，因此，与平面所成角. 【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用线面垂直证明线线垂直，以及线面角的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.（）求线段的中点的轨迹的方程；（）设圆与曲线的两交点为，求线段的长；（）若点在曲线上运动，点在轴上运动，求的最小值.【答案】（）;（）;（）.【解析】试题分析：（）设点的坐标为，点的坐标为，根据点坐标，和点是线段的中点，得，再由点在圆上运动，求得点的轨迹方程，进而可求得点点的轨迹的方程；（
16、）由两圆的方程，相减得到直线的方程，根据圆的弦长公式，即可求解的长；（）根据圆的性质得，由为关于轴的对称点，进而可求得的最小值，即可得到的最小值试题解析：（）设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，于是有，因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程即：把代入，得整理，得所以点的轨迹的方程为.（）圆与圆的方程相减得：由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离则公共弦长（）是以为圆心，半径的圆是以为圆心，半径的圆所以 当且仅当在线段且在线段上时，取等号.设为关于轴的对称点则代入式得： 当且仅当共线时，取等号.所以的最小值为.点睛：本题考查了圆的标准方程求解、直线与圆的位置关系等知
17、识点的应用，此类为解答的关键在于熟记圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系的判定与应用，同时注意数形结合法与转化思想在解题中的合理运用22.已知向量， 设函数（1）求的值域；（2）设函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 若不等式有解，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的数量积和三角形函数的性质即可求出值域；（2）先求出h（x），由不等式f（x）+h（x）+sin2xm0有解，转化为mf（x）+h（x）+sin2x，根据二次函数的性质即可求出【详解】解：（1）， 的值域为（2）函数，的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，依题意，不等式在有解，设，令，则函数的值域为. 故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查函向量数量积，正余弦函数的单调性、定义域和值域，二次函数的性质，不等式成立的问题，属于中档题