1、上一页返回首页下一页阶段1 阶段2阶段3学业分层测评4 用向量讨论垂直与平行上一页返回首页下一页1能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系(重点)2能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(重点)3能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力(难点)上一页返回首页下一页基础初探教材整理1 立体几何中垂直关系的向量表示阅读教材P40P41的部分，完成下列问题设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：lm.(2)线面垂直：l1akn1(kR)(3)面面垂直：12.abab0 an1n1
2、n2n1n20 上一页返回首页下一页已知两平面，的法向量分别为u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，则平面，的位置关系为_【解析】u1u21002100，u1u2，.【答案】上一页返回首页下一页教材整理2 立体几何中平行关系的向量表示阅读教材P40P41的部分，完成下列问题设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2.(1)线线平行：lm(2)线面平行：l1.(l1)(3)面面平行：12abab(R)an1an10 n1n2n1kn2(kR)上一页返回首页下一页1若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0,1,2)B(3,6,
3、9)C(1，2,3)D(3,6,8)【解析】(3,6,9)3(1,2,3)3a，a，(3,6,9)可作平面的一个法向量【答案】B上一页返回首页下一页2若直线l的方向向量是u(1,3,0)，平面的法向量是v(3,1,5)，则直线l与平面的位置关系为_【解析】uv1(3)31050，uv，l 或l.【答案】l 或l上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型向量法判断简单的平行、垂直关系(1)已知两条不同直线l1，l2的方向向量s1，s2，s1(1,1，1)，s2(1,
4、2,3)则l1与l2是_(填“平行”或“垂直”)【导学号：32550037】【自主解答】s1s21112(1)30，s1s2，l1l2.【答案】垂直上一页返回首页下一页(2)已知两个不同平面1，2的法向量分别为n1，n2，n1(2,1，1)，n2(4，2,2)，则1_2(填“”或“”)【自主解答】n22n1，n1n2，12.【答案】上一页返回首页下一页(3)已知直线l的方向向量为s(1，1,1)，平面的法向量为n(3,7,4)，且l，则l_(填“”或“”)【自主解答】ns13(1)7410，ns，l，l.【答案】上一页返回首页下一页利用向量法证明和讨论立体几何中的平行、垂直问题，即为判断直线的
5、方向向量与平面法向量之间的平行与垂直上一页返回首页下一页用向量讨论垂直问题 如图2-4-1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点图2-4-1求证：平面C1E1F平面CEF.上一页返回首页下一页【精彩点拨】要证明两个平面垂直，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面法向量m，n，证明mn0.【自主解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E11，12，2.上一页返回首页下一页设平面EF
6、C的法向量为m(a，b，c)，由EF(0,1,0)，FC(1,0，1)，所以 mEF0，mFC0，即b0，ac0.取m(1,0,1)同理平面C1E1F的法向量n(1,2,1)，因为mn1(1)2011110，所以平面C1E1F平面CEF.上一页返回首页下一页应用向量证明空间中垂直关系的基本策略(1)证明线线垂直只需证两直线的方向向量垂直设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1l2，只需证ab，即ab0.(2)证明线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直(3)证明面面垂直可证两平面的法向量相互垂直上一页返回首页下一页再练一题1本例条件不变
7、，求证：CF平面C1EF.【证明】由例题可知，E(1,0,1)，F(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，所以 CF(1,0,1)，C1F(1,0，1)，EF(0,1,0)所以CFC1F 11001(1)0，CFEF1001100.所以CFC1F，CFEF.因为C1FEFF，所以CF平面C1EF.上一页返回首页下一页用向量讨论平行问题 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别在DB，D1C上，且DED1F 23 a，求证：EF平面BB1C1C.【精彩点拨】由于EF平面BB1C1C，则只需求出直线EF的方向向量EF、平面BB1C1C的一个法向量，再证明二者数量积为
8、0即可上一页返回首页下一页【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则Ea3，a3，0，F 0，a3，2a3，故 EF a3，0，2a3，又n(0,1,0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，而nEF(0,1,0)a3，0，2a3 0，所以nEF，显然EF平面BB1C1C，EF平面BB1C1C.上一页返回首页下一页1证明线面平行常用的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；(2)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直2证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；(2)证明两个平面的法向量平行上一页返回首页下一页再练一题2
9、在正方体AC1中，O，M分别为DB1，D1C1的中点，证明：OMBC1.【导学号：32550038】【证明】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系上一页返回首页下一页设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，OM(1,0,1)，BC1(2,0,2)，OM 12BC1，OM BC1，OMBC1.上一页返回首页下一页探究共研型立体几何中的向量方法探究1 如何确定直线的方向向量？【提示】在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量解题时，直线的方向向量一
10、般不再叙述而直接应用，且可以参与向量运算或向量的坐标运算上一页返回首页下一页探究2 平面的法向量有何特征？【提示】(1)给定一点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(2)一个平面的法向量有无数多个，任两个都是共线向量上一页返回首页下一页探究3 一个平面的法向量不唯一，在求法向量时，要注意什么？【提示】求解过程中，方程组na0nb0有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特值(常赋值1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量上一页返回首页下一页探究4 用空间向量解决立体几何问题的一般步骤有哪些？【提示】空
11、间向量解决立体几何问题的“三步曲”是：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义上一页返回首页下一页 如图2-4-2，在三棱锥P-ABC中，ABBC，ABBC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OAOP，OP平面ABC.求证：OD平面PAB.图2-4-2【精彩点拨】法一：证明 OD 与平面PAB的法向量垂直法二：证明OD与面PAB内某一直线平行上一页返回首页下一页OBOC，如图，建立空间直角坐标系，设OAa，则A(a,0,0)，B
12、(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0,0，a)，Da2，0，a2，所以OD a2，0，a2.上一页返回首页下一页设平面PAB的法向量为n(x，y，z)则 nPA0，nAB0.由于PA(a,0，a)，AB(a，a,0)，所以axaz0，axay0.令z1，得xy1，所以n(1,1,1)，所以OD na2a20，所以OD n，因为OD不在平面PAB内，所以OD平面PAB.上一页返回首页下一页法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，所以OD CD CO 12CP12CA12AP，所以OD AP，即ODAP，OD平面PAB，PA 面PAB，所以OD平面PAB.上一页返回首页下一页用向量法证明线面平
13、行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面但必须说明直线在平面外上一页返回首页下一页再练一题3在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|3，|AD|4，|AA1|2，点M在棱BB1上，且|BM|2|MB1|，点S在DD1上，且|SD1|2|SD|，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MNRS.【导学号：32550039】上一页返回首页下一页【证明】法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M3，0，43，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，23.所以MN 3，2，23
14、.RS3，2，23，MN RS，所以MN RS，因为MRS，所以MNRS.上一页返回首页下一页法二：设ABa，AD b，AA1 c，则MN MB1 B1A1 A1N 13ca12b，RSRCCD DS12ba13c.所以MN RS，所以MN RS，又因为RMN，所以MNRS.上一页返回首页下一页构建体系上一页返回首页下一页1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线上任意两个不同的点A、B表示的向量AB都可作为该直线的方向向量()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行()(3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直()【答案
15、】(1)(2)(3)上一页返回首页下一页2若平面，的法向量分别为u(1,2，2)，v(3，6，6)，则()A BC，相交但不垂直D以上均错【解析】平面，的法向量分别为u(1,2，2)，v(3，6,6)，v3u，uv，.【答案】A上一页返回首页下一页3若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l不在平面内，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，要使l，则an，an0.只有D中有an0.【答案】D上一页返回首页下一页4若向量a
16、(1,2，4)，b(2，4,3)是平面内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m(2,3,1)，则l与的位置关系是_(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”)【导学号：32550040】【解析】am223410，bm4433150，am但m不垂直b，l与位置关系为相交但不垂直【答案】相交但不垂直上一页返回首页下一页5如图2-4-3，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.图2-4-3求证：(1)BC1AB1；(2)BC1平面CA1D.上一页返回首页下一页【证明】如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
17、设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)上一页返回首页下一页(1)由于BC1(0，2，2)，AB1(2,2，2)，因此BC1 AB1 0440，因此 BC1 AB1，故BC1AB1.(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以ED(0,1,1)，又BC1(0，2，2)，所以ED 12BC1，又ED和BC1不共线，所以EDBC1，又DE 平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评(十)点击图标进入
