1、8.1 椭 圆 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.1 椭 圆双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理2a2b.a2b2caxa2cya2cxa2cya2c思考感悟1.在第一定义中，若没有“2a|F1F2|”的条件，那么点的轨迹还是椭圆吗？提示：不是若2a|F1F2|，动点轨迹是线段F1F2；若2a|PF2|，有F1F2P90或F1PF290两种情况结合|PF1|PF2|6和直角三角形求解设 F1、F2 为椭圆x29 y241 的两个焦点，P为其上一点，已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求|PF1|PF2|的值例1【解】若PF2F1 为直角，由已知
2、|PF1|PF2|6，|PF1|2(6|PF1|)220，得|PF1|143，|PF2|43，故|PF1|PF2|72；若F1PF2 为直角，|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|220，解得|PF1|4，|PF2|2，故|PF1|PF2|2.【名师点评】当出现焦点三角形时，常结合椭圆定义解三角形(1)主要是利用椭圆的定义及简单性质、准线、长短轴、离心率、焦距等关系，直接求出a与b.(2)运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型，再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2ny21(m0，n0，mn)，由题目所给条件求出m、n即可
3、参考教材例2.求椭圆的标准方程 求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cosOFA23；(2)椭圆过(3,0)，离心率 e 63.例2【思路分析】根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可若判断不出焦点在哪个坐标轴上，可采用标准方程的统一形式【解】(1)椭圆的长轴长是 6，cosOFA23，A 不是长轴的端点(是短轴的端点)|OF|c，|AF|a3，c323.c2，b232225.椭圆的方程是x29 y251 或x25 y29 1.(2)当椭圆的焦点在 x 轴上时
4、，a3，ca 63，c 6，从而 b2a2c2963，椭圆的方程为x29 y231，当椭圆的焦点在 y 轴上时，b3，ca 63，a2b2a 63，a227.椭圆的方程为x29 y2271.所求椭圆方程为x29 y231 或x29 y2271.变式训练 求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴是短轴的 3 倍，且经过点 A(3,0)；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.【思维总结】本题中的两个小题，都有两种结论，但两题还有区别：(1)中直接将a与b颠倒，(2)中半长轴a就有两个值解：(1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)椭
5、圆过点 A(3,0)，9a21，a3.又2a32b，b1.椭圆方程为x29 y21.若椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)椭圆过点 A(3,0)，02a2 9b21，b3，又 2a32b，a9.椭圆方程为y281x29 1；综上所述，椭圆方程为x29 y21 或y281x29 1.(2)由已知a2c，ac 3，a2 3，c 3.从而 b29，所求椭圆的标准方程为x212y29 1 或x29 y2121.主要问题有两类，一类根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，另一类根据椭圆几何性质，综合其他知识求椭圆方程或者研究其他问题，这一类利用性质是关键椭圆的性质及应用 设椭圆 C：
6、x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 A，过点 A 作与 AF 垂直的直线分别交椭圆 C与 x 轴正半轴于点 P、Q，且AP 85PQ.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l：x 3y30 相切，求椭圆 C 的方程例3【思路分析】【解】(1)设 Q(x0,0)，由 F(c,0)、A(0，b)知FA(c，b)，AQ(x0，b)FA AQ，cx0b20，得 x0b2c.设 P(x1，y1)，由AP85PQ，得 x18b213c，y15b13，即 P(8b213c，5b13)点 P 在椭圆 C 上，8b213c2a2 5b132b2 1.整理得 2
7、b23ac，即 2(a2c2)3ac，解得 eca12.(2)由(1)知 2b23ac，即b2c 32a.又 c12a，于是 F(12a,0)、Q(32a,0)又FAQ90，FAQ 的外接圆圆心为(12a,0)，半径 r12|FQ|a.直线 x 3y30 与FAQ 的外接圆相切，|12a3|2a，得 a2，从而 c1，b 3，故椭圆 C 的方程为x24 y231.【思维总结】椭圆的几何性质主要是围绕椭圆中的“六点”(两个焦点、四个顶点)，“四线”(两条对称轴、两条准线)，“两形”(中心、焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形)“两围”(x的范围，y的范围)，一率(离心率)
8、方法技巧方法感悟1求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为x2my2n1(m0，n0，mn)，可避免讨论和繁杂的计算，也可设为 Ax2By21(A0，B0，AB)，这种形式在解题中较为方便如例 2.2用定义法求轨迹方程，首先要充分挖掘图形的几何性质，找出动点满足的几何条件，看其是否符合椭圆的定义，然后用待定系数法求解3求椭圆离心率 e 时，只要求出 a，b，c 的一个齐次方程，再结合 b2a2c2 就可求得 e(0eb0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原
9、因考向瞭望把脉高考 考情分析椭圆是高考必考内容之一，一般有两种考查方式：一是考查椭圆的定义、标准方程、焦点、离心率及其几何性质等自身的知识，题型以选择题或填空题为主；二是以椭圆为载体的解答题，多与代数、三角函数、数列、向量等知识相联系，常常作为压轴题，难度较大在2010年的高考中，大纲全国卷和(理)以填空题的形式考查了椭圆的离心率及第二定义，江西文理第21题，考查了以椭圆为主题的圆锥曲线的综合问题预测2012年高考，单独考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质仍将是考查的重点，以选择题、填空题的形式出现解答题则是以椭圆与其它曲线的综合问题为主，重点是考查性质的应用及推理运算能力规范解答(2010
10、年高考江西卷)(本题满分 12 分)如图，已知抛物线 C1：x2byb2 经过椭圆 C2：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点(1)求椭圆 C2 的离心率；(2)设点 Q(3，b)，又 M，N 为 C1 与 C2 不在y 轴上的两个交点，若QMN 的重心在抛物线 C1上，求 C1 和 C2 的方程例【解】(1)因为抛物线 C1 经过椭圆 C2 的两个焦点F1(c,0)，F2(c,0)，所以 c2b0b2，即 c2b2.2 分又 a2b2c22c2，所以椭圆 C2 的离心率 e 22.4 分(2)由(1)可知 a22b2，椭圆 C2 的方程为 x22b2y2b21.联立抛物线 C1 的方程 x
11、2byb2，得 2y2byb20.6 分解得 yb2或 yb(舍去)，所以 x 62 b，即 M(62b，b2)，N(62 b，b2)，8 分所以QMN 的重心坐标为(1,0).10 分因为重心在 C1 上，所以 12b0b2，得 b1.所以 a22.所以抛物线 C1 的方程为 x2y1，椭圆 C2 的方程为x22 y21.12 分【名师点评】本题主要考查了椭圆的性质、抛物线的性质及待定系数法求曲线方程，理清本题中两条曲线的关系是解题的关键第(1)问求椭圆的离心率难度较低第(2)问运算推理关系较多，求QMN的重心是解题的中心问题总之，本题设计巧妙，表面看好象难度较大，但认真分析后，各步计算并不
12、复杂，培养了学生敢于分析与解答的信心名师预测如图，设椭圆y2a2x2b21(ab0)的右顶点与上顶点分别为 A、B，以 A 为圆心、OA 为半径的圆与以 B为圆心、OB 为半径的圆相交于点 O、P.(1)若点 P 在直线 y 32 x 上，求椭圆的离心率；(2)在(1)的条件下，设 M 是椭圆上的一动点，且点N(0,1)到 M 点的距离的最小值为 3，求椭圆的方程解：(1)因为 OP 是圆 A、圆 B 的公共弦，所以 OPAB，即 kABkOP1，又易得 kOP 32，所以 kAB 23，又 kABab，所以 b234a2，而 a2c2b2，eca12.(2)由(1)知 b234a2，所以所求椭圆的方程为y2a24x23a21，设 M(x，y)，则|MN|2x2(y1)234a234y2y22y114(y4)2334a2，其中aya.()当 0a4 时，则当 ya 时，|MN|2 有最小值 a22a1，由 a22a19 得 a2 或 a4(都舍去)；()当 a4 时，则当 y4 时，|MN|2 有最小值34a23，由34a239 得 a4(舍去负值)综上所述，a4，所求椭圆的方程为y216x2121.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用