1、10.1 分类计数原理与分步计数原理 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 10.1 分类计数原理与分步计数原理双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理1分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法m1m2mn2分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法m1m2mn思考感悟这两个计数原理，如何区分与选用？提示：两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与
2、分步有关如果完成一件事有n类方法，这n类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类方法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理1(教材例3改编)从甲、乙、丙三名老师中选出2名在周六、周日值班，共有_种不同的选法()A5 B6C3 D2答案：B课前热身2书架上层有5本不同的文学书，中层放着3本不同的工具书，下层放有不同的6本数学参考书，从中任取一本书的不同取法种数是()A53614 B53690C1 D3答案
3、：A答案：A3设集合 A1,2,3,4，m，nA，则方程x2my2n1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆有()A6 个B8 个C12 个D16 个4已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，由这13个点可确定_个不同平面答案：135在大小不等的两个正方体玩具的六个面上，分别标有数字1,2,3,4,5,6.向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_种答案：8考点探究挑战高考 考点突破 分类计数原理 分类计数原理，首先将完成一件事的办法分类，然后再看每一类办法中有多少种方法可以完成该事件，最后求出其和注意每类办法可以独立完成在所有的两位数中(1)个位数字大于十位数字的两位数为()个(2)个位数
4、字小于十位数字的两位数为()个A36 B45C50 D72【思路分析】一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数字时，可先确定个位数字后再考虑十位数字例1【解析】(1)根据题意，将十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：8765432136(个)(2)一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.把这样的两位数分成10类当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两
5、位数；当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满足条件的两位数；当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数；以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个由分类计数原理得，满足条件的两位数的个数为：987654321045(个)【答案】(1)A(2)B【名师点评】正确分类是解题的关键(1)(2)两问易错解为相同的答案应用分步计数原理时，要理清思路，按事件发生的过程合理地分步，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，各个步骤都完成了，这
6、件事才算完成分步计数原理(原创题)中华人民共和国进行了全国第六次人口普查，某地区人口普查办公室制作了如图所示的宣传画.分为A、B、C、D四块区域现有四种颜色：红、黄、绿、蓝作为底色涂在上面，每块区域只涂一种颜色，且相邻区域不同色，共有_种涂色方案例2D A B C【思路分析】A、C为不相邻区域，可以同色也可以不同色，可以以某一区域开始涂色，每涂一块区域就是一步，按步进行，分步处理【解析】第一步，涂D区有4种方法第二步，涂A区有3种方法第三步，涂B区有2种方法第四步，涂C区有2种方法由分步计数原理可得432248(种)，即共有48种涂色方案【答案】48【思维总结】此题易错解为432124，本题也
7、可先分为两类：A、C同色与A、C不同色后再分步进行互动探究 在本宣传画中，为提醒群众把普查的标准时点，“2010年11月1日零点”写在B区，并涂以黄色，其涂色方案共有_种解析：D区共有3种方案，A区有2种方案，C区有2种方案共有32212种方案答案：12两个原理一起应用时，要明确是先分类还是先分步，应用时，应目的明确，层次分明，先后有序，不重不漏两个原理的综合应用(原创题)2010年10月，中国人民解放军进行了集团军跨区域演习，A集团军准备了4辆装甲车，3架飞机B集团军准备了5辆装甲车，2架飞机演习时由一架飞机和两辆装甲车组成一个空地联合组，且至少一辆装甲车与同组飞机不来自同一个集团军所有的飞
8、机与装甲车都不相同可以组成多少个不同的联合组？【思路分析】首先按飞机的来源，再按装甲车的来源分类与分步例3【解】第一类：飞机来源于 A 集团军，飞机有 3种选法装甲车来源于两个集团军时有 4520种，若两辆装甲车都来自 B 集团军有542 10(种)共有 3(4510)90(种)第二类：飞机来源于 B 集团军，先确定飞机有 2 种选法，再确定装甲车：两个集团军各选一辆有 4520(种)，两辆车都来自 A 集团军，有432 6(种)，共有2(206)52(种)由分类原理共有9052142(种)，即共有142个联合形式【思维总结】本题先分两大类，每类中又分步：先选飞机后选车，选车时又分为两类方法技
9、巧1首先要明确“完成一件事”是需分类还是分步；分类时，类与类之间应避免交叉重复且要互补；分步时，步与步之间应有连续性其次对较复杂的问题，一般是先分类，各类之中再分步，分类时要注意选好分类标准，设计好分类方案，要防止重复和遗漏如例3.方法感悟2一些非常规计数问题的解决方法(1)枚举法将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来如例1.(2)间接法若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数，即正难则反(3)转换法转换问题的角度或转换成其他已知的问题，在实际应用中，应根据具体问题
10、，灵活处理失误防范1分类必须满足两个条件：(1)类与类必须“纯粹”(做到不重)；(2)总类必须“完备”(保证不漏)如例1.2分步必须满足两个条件：(1)步与步互相独立，互不干扰；(2)步与步确保连续如例2.考向瞭望把脉高考 考情分析从近两年的高考试题来看，考查的形式为选择题或填空题，内容主要表现在两个方面：(1)单独考查分类或分步计数原理(2)通过排列、组合应用题综合考查两个原理两个原理是解决排列、组合题的理论基础，它贯穿整个排列、组合的始终2010年的高考中，湖北文第6题，单独考查了乘法原理，上海理第14题考查了分类原理与分步原理的综合应用，难度在中等偏下预测2012年高考在本节会出一道选择
11、题或填空题，可能会与排列组合融合在一起，属基础题【解析】由分步乘法计数原理得55555556.【答案】A命题探源(2010 年高考湖北卷)现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法总数是()A56 B65C.5654322D65432例【名师点评】此题考查了分步乘法计数原理，即把每个同学都安排完听讲座这件事才完成，故采取人选讲座的角度本题与教材习题10.1中第6题是同类型的本题易错选为B.其原因不理解本题“完成一件事”是什么1从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A3 B4C6 D8名
12、师预测解析：选 D.当公比为 2 时，等比数列可为 1、2、4,2、4、8；当公比为 3 时，等比数列可为 1、3、9；当公比为32时，等比数列可为 4、6、9.同时，4、2、1 和 8、4、2、9、3、1,9、6、4 也是等比数列，共 8 个2用三种不同的颜色填涂如图的33方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同颜色，则不同的填涂方法种数共有()A48 B24C12 D6解析：选C.第一行的涂法有A种，第二行的涂法相当于三个元素的错位排列的方法，有2种，第三行的涂法只有1种，则不同填涂方法种数共有12种，故选C.3.将1、2、3、9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，
13、每一列从上到下呈增大趋势，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A6种B12种C18种D24种解析：选A.3,4的上面只能分别填1,2，当4的右边填6时，其上面可填5，有1种填法；当4的右边填7时，其上面可填5,6，有2种填法；当4的右边填8时，其上面可填5,6,7，有3种填法一旦4的右边和上边的数字填好后，其他的将唯一确定于是，根据分类加法计数原理可知共有6种填法4如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个解析：当恰有3个1时，“好数”有9个；当恰有1个1时，“好数”有3个，则“好数”共有12个，故填12.答案：12本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用