1、课时作业(五十六)双曲线一、选择题1已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D1解析：因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D。答案：D2若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：由0k5易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由于165k16k5，所以两曲线的焦距相等。选D。答案：D3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意可得2，c5，所以c2a2b25a225，解得a25，b220，则
2、所求双曲线的方程为1。答案：A4设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C4 D.解析：根据已知条件，知|PF1|PF2|2a，所以4a2b23ab，所以b4a或ba(舍去)，双曲线的离心率e，选择D。答案：D5过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A。若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的右焦点为F，则F(c,0)(其中c)，且c|OF|r4，不妨将直线xa代入双曲线的一条
3、渐近线方程yx，得yb，则A(a，b)。由|FA|r4，得4，即a28a16b216，所以c28a0，所以8ac242，解得a2，所以b2c2a216412，所以所求双曲线的方程为1。答案：A6(2016怀化一模)点P是双曲线C1：1(a0，b0)与圆C2：x2y2a2b2的一个交点，且2PF1F2PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左、右焦点，则双曲线C1的离心率为()A.1 B.C. D.1解析：x2y2a2b2c2，点P在以F1F2为直径的圆上，PF1PF2。又2PF1F2PF2F1，|PF2|c，|PF1|c，又P在双曲线上，cc2a，e1。答案：A二、填空题7(2016北京卷
4、)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_。解析：因为双曲线y21(a0)的一条渐近线为yx，所以，故a。答案：8(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点。若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_。解析：由题意，双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，因为点P到直线xy10的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线xy10与直线xy0的距离，即。答案：9(2016安阳模拟)若点P在曲线C1：1上，点Q在曲线C2：(x5)2y21上，点R在曲线C3：(x5)2y21上，则|PQ|PR|的最大值是_。解析：曲线C2是以曲线C1的右
5、焦点F2为圆心，1为半径的圆，则|PQ|max|PF2|r|PF2|1，此时点P在双曲线左支上；曲线C3是以曲线C1的左焦点F1为圆心，1为半径的圆，则|PR|min|PF1|r|PF1|1。故(|PQ|PR|)max(|PF2|1)(|PF1|1)|PF2|PF1|210。答案：10三、解答题10过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点。(1)求|AB|；(2)求AOB的面积。解析：(1)由双曲线的方程得a，b，所以c3，F1(3,0)，F2(3,0)。直线AB的方程为y(x3)。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270。所
6、以x1x2，x1x2。所以|AB|x1x2|。(2)直线AB的方程变形为x3y30。所以原点O到直线AB的距离为d。所以SAOB|AB|d。11已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围。解析：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21。(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90。由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
7、k2且k21，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2。所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2。又2，得x1x2y1y22，2.即0。解得k23。由，得k21。故k的取值范围为。12直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A，B。(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。解析：(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21，整理得(k22)x22kx20。依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2k。(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20，即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0，整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210。把式及c代入式化简得5k22k60，解得k或k(舍去)，可知存在k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F。
