1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高二数学10月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设a，b，c，且，则下列结论一定成立的是A. B. C. D. 2. 设等差数列的前n项和为，且则过点，的直线斜率为A. 4B. C. 2D. 3. 已知函数的最小正周期为，则A. 1B. C. D. 4. 若不等式的解集是R，则m的范围是A. B. ，C. D. 5. 设，若的最小值为A. 3B. C. D. 6. 已知三角形ABC中，连接CD并取线段CD的中点F，则的值为A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为A. B. C. D. 8
2、. 若x，y满足且的最大值为6，则k的值为A. B. 1C. D. 79. 设函数则的值为A. 199B. 200C. 201D. 20210. 设各项均不为零的等差数列的前n项和为，已知，且，则使不等式成立的正整数n的最小值是A. 9B. 10C. 11D. 1211. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于一般地，将连续的正整数1，2，3，填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方记n阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为 A. 41B. 45C.
3、 369D. 32112. 已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点A，B，与函数的图象从左至右相交于点C，记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是_14. 已知等差数列的前n项和是，如果，则_15. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_16. 已知函数，则的最大值是_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知等差数列，为其前n项的和，求数列的通项公式；若，求数列的前n项的和18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
4、c，求角B的值；若，的面积为，求BC边上的中线长19. 已知圆M的圆心为，且直线与圆M相切设直线l的方程为，若点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B求圆M的标准方程；若，试求点P的坐标；若点P的坐标为，过点P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；20. 在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且，DE与BG交于点O求：；若平行四边形ABCD的面积为21，求的面积21. 已知数列是递增等比数列，且数列的前3项和，点在直线上求数列，的通项公式；设，数列的前n项和为，若恒成立，求实数a的取值范围22. 如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a若以B，
5、C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为，用a、表示山的高度h；若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影已知石塔高度，当观测点E在AD上满足时看BC的视角即最大，求山的高度h答案1.【答案】B【解析】解：A、，与无法比较大小，故本选项错误；B、，故本选项正确；C、当，时，故本选项错误；D、当，时，故本选项错误故选：B根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用本题考查了不等式的性质此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：2.【答案】B【解析】解：数列为等差数列，设其公差为d，即；过点，的直线斜率
6、，故选：B依题意，可求得等差数列的公差为，利用直线的斜率公式可得，从而可得答案本题考查等差数列的性质，求得等差数列的公差为是关键，考查直线的斜率，属于中档题3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数值的求解，根据函数的周期求出是解决本题的关键，根据三角函数的周期公式求出即可【解答】解：函数的最小正周期为，周期，解得，即，则，故选A4.【答案】C【解析】解：当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为R，当，即时，若不等式的解集是R，则，解得：综上所述，m的取值范围为故选：C若，即时，满足条件，若，即，若不等式的解集是R，则对应的函数的图象开口朝上，且与x轴没有交点，进而构造关于m的
7、不等式，进而得到m的取值范围本题考查的知识点是二次函数的性质，不等式恒成立问题，是函数和不等式的综合应用，难度不大，属于中档题5.【答案】D【解析】解：是与的等比中项，当且仅当时取等号的最小值为故选：D是与的等比中项，可得利用及其基本不等式的性质即可得出本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.【答案】B【解析】解：，则故选：B结合已知可知，结合图形关系及向量数量积的运算即可求解本题主要考查了平面向量数量积的基本运算，解题时要注意善于利用图形关系7.【答案】A【解析】解：数列的通项公式为，显然，令，即得，所以数列中的最大项为，故选：A显然数列的
8、项为正项，令，求出n的值，代入通项公式即可本题考查了数列的单调性，数列的最值，属于基础题8.【答案】B【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：，由得：，显然直线过时，z最大，故，解得：，故选：B先画出满足条件的平面区域，由得：，显然直线过A时z最大，得到关于k的不等式，解出即可本题考查了简单的线性规划问题，考查不等式问题，是一道中档题9.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是分组求和法，难点在于利用函数的解析式找出函数值的规律，属于中档题先将式子进行首尾组合，利用规律：当，且时，成立易得本题结论【解答】解：函数当时，当，且时，有：，同理；又故选：C10.【答案】C【解析】解：在
9、等差数列中，由，得，则又，可知数列为递增数列，则，又当时，当时，使不等式成立的正整数n的最小值是11故选：C由已知可得，再由，可知数列为递增数列，则，可得当时，当时，由此可得正整数n的最小值本题考查等差数列的性质，考查数列函数特性的应用，是中档题11.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查运算能力，属于基础题直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果【解答】解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列，则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于根据求和公式得：，则故选：C12.【答案】B【解析】解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为，则，；，；，又，当且仅当
10、时取“”故选：B设A，B，C，D各点的横坐标分别为，依题意可求得为，的值，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题13.【答案】【解析】解：，是单位向量，且，若，设与夹角为，则，所以故答案为：利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可本题考查平面向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力14.【答案】40【解析】解：等差数列的前n项和是，解得，故答案为：40利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果本题考查等差数列的前10项和的求
11、法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想和计算能力，属中档题由题意可得，然后利用基本不等式求出的最小值，再根据恒成立，可得，解关于t的不等式可得t的范围【解答】解：，且，当且仅当，即，时取等号，的最小值为12恒成立，的取值范围为故答案为16.【答案】【解析】解：由题意知函数的周期为，只需考虑在内的最大值即可；计算，令，得，即，解得或，所以在时，有，或；所以的最大值只能在、或和边界点处取到，计算，；所以的最大值是故答案为：由题意知函数的周期为，考虑在内的最大值即可；计算，利用求得极值
12、点，再求在内的最值本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题17.【答案】解：依题意分解得分由可知，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，分所以数列的前n项的和分【解析】利用等差数列的通项公式，由，建立方程组，先求出首项和公差，再求数列的通项公式由，知数列是首项为，公比为9的等比数列，由此能求出数列的前n项的和本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化18.【答案】解：，解得：或舍去，又，可得：，设，则在中，由余弦定理得，的面积为，解得：，在中，由余弦定理得，解得：【解析】利用三角函数恒等
13、变换的应用化简已知等式可得，进而解得cosB，结合B的范围即可得解B的值；先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求BC的值，再由三角形面积公式可求AB，BD的值，利用余弦定理即可得解AD的值本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题19.【答案】解：直线与圆M相切，圆的半径为，故圆M的标准方程为，在中，点P在直线l：上不妨设点P的坐标为，解得或，点P的坐标为或当直线CD的斜率不存在时，其方程为，此时直线CD与圆M相离，不符合题意；当直线CD的斜率存在时，设其方程为，由勾股定理得，圆心M到直线CD的距
14、离为，即，解得或，故所求直线方程为或【解析】先利用直线与圆相切，求出圆的半径，即可写出圆的标准方程；设，由题分析知，解方程求出m的值即可；对直线CD的斜率分两种情况讨论，利用圆心M到直线CD的距离为，即可得解本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键点是圆心到直线的距离等于圆的半径，属于基础题20.【答案】解：由于D、O、E共线，故有、O、G共线，求得，可得：由可得与的高之比，与的面积之比为，【解析】由D、O、E共线，故有再由B、O、G共线，求得，再利用平面向量基本定理求得的值，即可得到结论由可得，可得，再根据，计算求得结果本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属
15、于中档题21.【答案】解：设数列是公比为q且为递增等比数列，且数列的前3项和，则：，解得，由于数列为单调递增数列，所以所以，由于数列的，点在直线上所以常数，所以由于数列，所以，得：整理得，解得由于恒成立，所以，解得所以实数a的取值范围是【解析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用和放缩法的应用，利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型22.【答案】解：根据题意，可得在中，由正弦定理，可得，则，即为所求表示式；设，当且仅当即时，最大，从而最大，结合题意，可得，解之得，即为所求山的高度【解析】根据题意，在中算出、，利用正弦定理加以计算，即可得到用a、表示山的高度h的式子；设，利用正切的差角公式与三角函数的定义列式，然后根据基本不等式，可算出当时，最大，进而算出此时的，即为所求山的高度本题给出实际应用问题，求山高h的表示式并依此求视角最大时的山高h，着重考查了基本不等式、正弦定理与两角差正切公式等知识，属于中档题