1、单元质检卷八立体几何(A)(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020陕西咸阳模拟)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.32B.23C.22D.22.(2020安徽黄山模拟)E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合),BD1平面B1CE,则()A.BD1CEB.AC1BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC13.(2020山东济宁三模,7)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开
2、立圆术”相当给出了一个已知球的体积V,求这个球的直径d的近似公式,即d3169V.若取=3.14,试判断下列近似公式中最精确的一个是()A.d32VB.d3169VC.d32011VD.d32111V4.已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是边长为2的正方形,若过点P作平面ABCD的垂线,垂足为四边形ABCD的中心,且四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成的角为60,则四棱锥P-ABCD的高为()A.22B.3C.6D.235.(2020山东济南三模,4)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为()A.4B.5C.6D.6
3、.(2020广东珠海模拟)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.(2020山东莱芜模拟)一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.8.某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为.三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)(2020河南郑州模拟)如图1,ABC中,A
4、B=BC=2,ABC=90,E,F分别为边AB,AC的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置(如图2),且PB=BE.(1)证明:EF平面PBE;(2)设N为线段PF上的动点(包含端点),求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值.10.(12分)(2020山东日照一模,理19)如图,已知四边形ABCD为等腰梯形,BDEF为正方形,平面BDEF平面ABCD,ADBC,AD=AB=1,ABC=60.(1)求证:平面CDE平面BDEF;(2)点M为线段EF上一动点,求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围.11.(12分)(2020山东泰安一模,19)在四边形ABCP中,AB=BC
5、=2,P=3,PA=PC=2;如图,将PAC沿AC边折起,连接PB,使PB=PA,(1)求证:平面ABC平面PAC;(2)若F为棱AB上一点,且AP与平面PCF所成角的正弦值为34,求二面角F-PC-A的大小.参考答案单元质检卷八立体几何(A)1.B在正方体中还原该四棱锥,如图所示,可知SD为该四棱锥的最长棱.由三视图可知正方体的棱长为2,故SD=22+22+22=23.故选B.2.D如图,设B1CBC1=O,可得平面D1BC1平面B1CE=EO,BD1平面B1CE,根据线面平行的性质可得D1BEO,O为BC1的中点,E为C1D1中点,D1E=EC1,故选D.3.D由球体的体积公式得V=43R
6、3=43d23=d36,得d=36V,61.9108,1691.7778,21111.9091,20111.8182,2111与6最为接近.故选D.4.C如图,高为PO,根据线面角的定义可知PCO是侧棱PC与底面所成的角,据题设分析知,所求四棱锥P-ABCD的高PO=22+222tan60=6.故选C.5.C因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,不妨设圆柱底面半径为r,故2r=O1O2=2,解得r=1.故该圆柱的表面积为2r2+2rO1O2=2+4=6.故选C.6.A根据平面与平面平行的性质,将m,n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成
7、的角.设平面CB1D1平面ABCD=m1.平面平面CB1D1,m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,同理可得CD1n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60,其正弦值为32.故选A.7.13如图,过点A作ACOB交OB于点C.在RtACB中,AC=12cm,BC=8-3=5(cm).所以AB=122+52=13(cm).8.227圆
8、柱体体积最大时,圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O,圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM上.正四面体棱长为3,BM=32,OM=12,BO=1,AO=2,设圆柱的底面半径为r,高为h,则0r12.由三角形相似得r12=2-h2,即h=2-22r,圆柱的体积V=r2h=2r2(1-2r),r2(1-2r)r+r+1-2r33=127,当且仅当r=1-2r即r=13时取等号.圆柱的最大体积为227.故答案为227.9.(1)证明因为E,F分别为边AB,AC的中点,所以EFBC.因为ABC=90,所以EFBE,EFPE,又BEPE=E,所以EF平面PBE.(2)解取BE的中点O,连接PO
9、,因为PB=BE=PE,所以POBE.由(1)知EF平面PBE,EF平面BCFE,所以平面PBE平面BCFE.又PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE,所以PO平面BCFE.过点O作OMBC交CF于点M,分别以OB,OM,OP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B12,0,0,P0,0,32,C12,2,0,F-12,1,0,PC=12,2,-32,PF=-12,1,-32,由N为线段PF上一动点,得PN=PF(01),则可得N-2,32(1-),BN=-+12,32(1-).设平面PCF的法向量为m=(x,y,z),则PCm=0,PFm=0,即12x+2y-32
10、z=0,-12x+y-32z=0,取y=1,则x=-1,z=3,所以m=(-1,1,3)为平面PCF的一个法向量.设直线BN与平面PCF所成的角为,则sin=|cos|=|BNm|BN|m|=2522-+1=252-142+782578=47035当且仅当=14时取等号,所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为47035.10.(1)证明在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=1,ABC=60,BAD=CDA=120,ADB=30,CDB=90.即BDCD,BD=AB2+AD2-2ABADcos120=3,BC=2.平面BDEF平面ABCD,平面BDEF平面ABCD=BD,CD平面
11、ABCD,CD平面BDEF.CD平面CDE,平面CDE平面BDEF.(2)解由(1)知,分别以直线DB,DC,DE为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设EM=m(0m3),则B(3,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M(m,0,3),BC=(-3,1,0),BM=(m-3,0,3),DB=(3,0,0),设平面BMC的法向量为n=(x,y,z),nBC=0,nBM=0,即-3x+y=0,(m-3)x+3z=0,令x=3,则y=3,z=3-m,平面BMC的一个法向量为n=(3,3,3-m).设BD与平面BCM所成角为,sin=|cos|=|nBD|n|BD|=33(m-3)2+12
12、,当m=0时取最小值55,当m=3时取最大值12.故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为55,12.11.证明(1)在PAC中,PA=PC=2,APC=3,PAC为正三角形,且AC=2,在ABC中,AB=BC=2,ABC为等腰直角三角形,且ABBC.取AC的中点O,连接OB,OP,则OBAC,OPAC,OB=1,OP=3,PB=PA=2,PB2=OB2+OP2,OPOB,OPAC=O,AC,OP平面PAC,OB平面PAC.OB平面ABC,平面ABC平面PAC.(2)以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,
13、3),AB=(1,1,0),AP=(0,1,3),CP=(0,-1,3),CA=(0,-2,0),设AF=mAB=(m,m,0)(0m1),则CF=CA+AF=(m,m-2,0).设平面PFC的一个法向量为n=(x,y,z).则nCF=0,nCP=0,则mx+y(m-2)=0,-y+3z=0,令y=3,解得x=2-mm3,z=1,n=2-mm3,3,1.AP与平面PFC所成角的正弦值为34,nAP|n|AP|=2323(2-m)2m2+3+1=34,整理得3m2+4m-4=0,解得m=23或m=-2(舍去),n=(23,3,1),又OB为平面PAC的一个法向量,cos=nOB|n|OB|=32,=6,即二面角F-PC-A的大小为6.
