1、2015-2016学年山西省朔州市怀仁县云东中学高二（下）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A2B3C5D72在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（）A =2B =+C +=D +=3直线a平面，直线ba，则b和平面的位置关系是（）AbBbCbDb或b4直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为（）AB4CD25与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A =1B =1C =1D =16有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面
2、积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的序号有（）ABCD7一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A48+12B48+24C36+12D36+248已知圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线2axby+2=0（a0，b0）对称，则+的最小值是（）A4B6C8D99一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4CD610椭圆的右焦点为F，直线x=m与椭圆相交于 A、B两点，直线x=m不过右焦点F时，FAB的周长的最大值是16，则该椭圆的离心率是（）ABCD11如图，在空
3、间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）ABCD12已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y22y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A3BCD2二、填空题（每小题5分，共计20分）13设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的距离的最小值为14已知p：11，2，q：11，2，则“p且q”为假；“p或q”为真；“非p”为真，其中的真命题的序号为15过双曲线（a0，b0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以M
4、N为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于16设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=，则|+2|+3|=三、解答题（共计70分）17已知p：x28x200，q：x22x+1a20（a0）若q是p的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围18如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点（）求证：平面EFC平面BCD；（）若平面ABD平面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥BADC的体积19求过点A（2，1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上的圆方程20已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值（1）试求动点P的
5、轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于MN两点，当|MN|=时，求直线l的方程21如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点（1）证明：直线EE1平面FCC1；（2）求二面角BFC1C的余弦值22已知椭圆过点（0，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）A，B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE|DF|恒为定值2015-2016学年山西省朔州市怀仁县云东中
6、学高二（下）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共计60分）1已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A2B3C5D7【考点】椭圆的简单性质【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5根据椭圆的定义得：2a=3+dd=2a3=7故选D2在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（）A =2B =+C +=D +=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于C，可得，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面【解答】解：C中
7、，由+=，得=，则，为共面向量，即M、A、B、C四点共面对于A， +=，M、A、B、C四点不共面对于B，M、A、B、C四点不共面对于D，+=， =（+），系数和不为1，M、A、B、C四点不共面故选C3直线a平面，直线ba，则b和平面的位置关系是（）AbBbCbDb或b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可【解答】解：当b时，a，则ab当b时，a，则ab故当ab，ab或b故选：D4直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为（）AB4CD2【考点】直线与圆相交的性质【分析】先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进
8、而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求【解答】解：根据圆的方程可得圆心为（3，0），半径为3则圆心到直线的距离为=1弦长为2=4故选C5与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A =1B =1C =1D =1【考点】双曲线的标准方程【分析】根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为，根据c值列出方程求出的值即可【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c=5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则6436=25，解得=，所以双曲线方程为，
9、故选：A6有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的序号有（）ABCD【考点】四种命题的真假关系【分析】（1）“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题；（3）若q1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误（4）原命题为假，故逆否命题也为假【解答】解：（1）“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题
10、是：若x，y互为相反数，则x+y=0它是真命题（2）“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等它是假命题（3）若q1，则=44q0，故命题若q1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题（4）原命题为假，故逆否命题也为假故选C7一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A48+12B48+24C36+12D36+24【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高已知，底面是长度为6的等腰直角三角形，故先求出底面积，再各个侧面积，最后相加即
11、可得全面积【解答】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是=18又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高为=5故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为46=12，另两个侧面三角形的面积都是=15故此几何体的全面积是18+215+12=48+12故选A8已知圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线2axby+2=0（a0，b0）对称，则+的最小值是（）A4B6C8D9【考点】关于点、直线对称的圆的方程；基本不等式【分
12、析】圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线2axby+2=0（a0，b0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=1，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项【解答】解：由圆的对称性可得，直线2axby+2=0必过圆心（1，2），所以a+b=1所以+=+=+52+5=9，当且仅当=，即a=2b时取等号，故选D9一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4CD6【考点】球内接多面体【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所
13、以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：所以球的表面积为：4R2=3故选A10椭圆的右焦点为F，直线x=m与椭圆相交于 A、B两点，直线x=m不过右焦点F时，FAB的周长的最大值是16，则该椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆的左焦点为E，作出图形，利用椭圆的定义可求得FAB的周长l=AB+AF+BF=4a+ABAEBE4a=16，从而可求得a，继而可得其离心率【解答】解：设椭圆的左焦点为E，FAB的周长l=AB+AF+BF=AB+（2aAE）+（2aBE）=4a+ABAEBE，AE+BEAB，ABAEBE0，当且仅当AB过E时取到“=”，AB+AF+
14、BF=4a+ABAEBE4a（当且仅当AB过E时取到“=”），即直线x=m过椭圆左焦点E时FAB的周长最大FAB的周长的最大值是16，4a=16，a=4，a2=16，又b2=4，c2=a2b2=164=12，该椭圆的离心率e=故选A11如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数
15、量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，CA=CC1=2CB，可设CB=1，CA=CC1=2A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）=（0，2，1），=（2，2，1）可得=0（2）+22+（1）1=3，且=， =3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为，则cos=故选A12已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y22y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，
16、则k的值为（）A3BCD2【考点】直线和圆的方程的应用【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值【解答】解：圆C：x2+y22y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2SPBC，四边形PACB的最小面积是2，SPBC的最小值=1=rd（d是切线长）d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，k0，k=2故选D二、填空题（每小题5分，共计20分）13设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的距离的最小值为1【考点】直线与圆的位置关系【分析】求圆心
17、到直线的距离减去半径可得最小值【解答】解：圆心（0，0）到直线3x4y10=0的距离d=2再由dr=21=1，知最小距离为1故答案为：114已知p：11，2，q：11，2，则“p且q”为假；“p或q”为真；“非p”为真，其中的真命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用或且非的含义判断命题p，q的真假关系，进一步利用复合命题与简单命题真假之间的关系确定出有关命题的真假【解答】解：1与1，2是元素与集合关系，11，2是正确的，故命题p正确；1与1，2是集合与集合关系应用包含，故命题q错误，因此正确，错误故答案为：15过双曲线（a0，b0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两
18、点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于2【考点】双曲线的简单性质【分析】先设出双曲线的左焦点和右顶点，根据以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，可知|F1M|=|F1A|，进而得，整理后即可求得e【解答】解：设双曲线（a0，b0）的左焦点F1，右顶点为A，因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，故|F1M|=|F1A|，即b2=a2+ac=a2+c2，由e=，e21=1+ee=2故答案为216设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=，则|+2|+3|=12【考点】抛物线的简单性质；向量在几何中的应用【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C
19、（x3，y3），然后根据=，可求出x1+2x2+3x3=6，再根据抛物线的定义，即可求得答案【解答】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=1设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）=，x11+2（x21）+3（x31）=0，即x1+2x2+3x3=6，|=x1（1）=x1+1，|=x2（1）=x2+1，|=x3（1）=x3+1|+2|+3|x1+1+2（x2+1）+3（x3+1）=（x1+2x2+3x3）+6=6+6=12故答案为：12三、解答题（共计70分）17已知p：x28x200，q：x22x+1a20（a0）若q是p的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围【考点】
20、必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出p：x2或x10，q：x1a或x1+a，再由若q是p的充分而不必要条件，则p是q的充分而不必要条件，列出方程组，从而求出正实数a的取值范围【解答】解：由p：x28x200，得p：x2或x10，由q：x22x+1a20（a0），得q：x1a或x1+a，若q是p的充分而不必要条件，则p是q的充分而不必要条件，解得0a318如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点（）求证：平面EFC平面BCD；（）若平面ABD平面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥BADC的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的
21、体积【分析】（）ABD中根据中位线定理，得EFAD，结合ADBD得EFBD再在等腰BCD中，得到CFBD，结合线面垂直的判定定理，得出BD面EFC，从而得到平面EFC平面BCD（2）根据平面ABD平面BCD，结合面面垂直的性质定理，可证出AD面BCD，得AD是三棱锥ABCD的高，计算出等边BCD的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥ABCD的体积，即可得到三棱锥BADC的体积【解答】解：（）ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，EFADADBD，EFBDBCD中，CB=CD，F是BD的中点，CFBDCFEF=F，BD面EFCBD面BDC，平面EFC平面BCD（）面ABD面BCD，面ABD面BCD
22、=BD，ADBD，AD面BCD，得AD是三棱锥ABCD的高BD=BC=1且CB=CD，BCD是正三角形因此，三棱锥BADC的体积为19求过点A（2，1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上的圆方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】可设圆心为（a，2a），半径为r，可得r2=，又（2a）2+（1+2a）2=r2，联立可得a和r的值，进而可得方程【解答】解：因为圆心在直线y=2x上，可设圆心为（a，2a），半径为r，则圆的方程为（xa）2+（y+2a）2=r2，由题意可得r=d=，r2=，又（2a）2+（1+2a）2=r2，解得a=1，r=，圆的方程为（x1）2+（y+2）2=220已知
23、动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于MN两点，当|MN|=时，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题【分析】（）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C（）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论【解答】解：（）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB=，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x）（）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0x1+x
24、2=，x1 x2=0，|MN|=，整理得，k4+k22=0，解得k2=1，或k2=2（舍）k=1，经检验符合题意直线l的方程是y=x+1，即：xy+1=0或x+y1=021如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点（1）证明：直线EE1平面FCC1；（2）求二面角BFC1C的余弦值【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）可以通过证明面面平行来证明线面平行；（2）通过建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，则两个平面的法向量的夹角即为两平面的二面角或
25、其补角【解答】解：（1）F为AB的中点，CD=2，AB=4，ABCD，CDAF，四边形AFCD为平行四边形，ADFC又CC1DD1，FCCC1=C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，EE1平面FCC1（2）过D作DRCD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则F（，1，0），B（，3，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），=（0，2，0），=（，1，2），=（，3，0）由FB=CB=CD=DF，四边形BCEF是菱形，DBFC又CC1平面ABCD，为平面FCC1的一个法向量设平面BFC1的一个法向量为=（x，y，
26、z），则得，可得y=0，令x=2，则z=，=故所求二面角的余弦值为22已知椭圆过点（0，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）A，B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE|DF|恒为定值【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（）由题意可知：b=1，因为e=，且a2=b2+c2，可得a的值，进而求出椭圆的方程（）由题意可得：A（2，0），B（2，0）设P（x0，y0），由题意可得：2x02，分别写出直线AP与直线BP的方程，再求出E、F两点的纵坐标，即可求出|DE|DF|的表达式，然后利用点P在椭圆上即可得到|DE|DF|为定值1【解答】解：（）由题意可知，b=1，又因为e=，且a2=b2+c2，解得a=2，所以椭圆的方程为（）由题意可得：A（2，0），B（2，0）设P（x0，y0），由题意可得：2x02，所以直线AP的方程为，令，则，即；同理：直线BP的方程为，令，则，即；所以=而，即4y02=4x02，代入上式，所以|DE|DF|=1，所以|DE|DF|为定值12016年10月21日