1、2016年山西省朔州市右玉一中高考数学压轴试卷（理科）（4）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数 =1+i，则=（）ABCD2已知集合A=2，1，0，1，2，B=x|1log2x2，则AB=（）A1，0，1B0，1，2C0，1D1，23在区间（0，4）上任取一数x，则22x14的概率是（）ABCD4平面向量与的夹角为30，已知=（1，），|=2，则+|=（）ABCD5等比数列an中，a5=6，则数列log6an的前9项和等于（）A6B9C12D166如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A
2、k3？Bk4？Ck5？Dk6？7若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD8已知正三棱锥PABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（）ABCD9下列推断错误的个数是（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1则x23x+20”命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x2=1则x1”“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”A1B2C3D410已知圆（xa）2+y2=4截直线y=x
3、4所得的弦的长度为2，则a等于（）A2B6C2或6D11一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是（）A4B6C8D1012F是双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点过点F向C的条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若3=，则C的心离心率是（）AB2CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=45，则a2+a4+a9=14设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（）6的展开式中含x2项的系数15已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为16设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a3）x的导
4、函数为f（x），且f（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinBsinC）（sinB+sinC）=sin（C）sin（+C）（1）求角B的值；（2）若=12，b=2，求a，b（其中ca）18在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在（40，60）内的选手可以参加
5、复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平分数和中位数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如表： 参赛选手成绩所在区间 （40，50 （50，60） 每名选手能够进入第二轮的概率假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为（单位：分）43，45，52，58，记这4名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望19如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与CDE所在的平面交于CD，且AE平面CDE，AE=1（1）求证：平面ABCD平面ADE；（2
6、）设点F是棱BC上一点，当点F满足=2时，求二面角ADEF的余弦值20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形面积为（1）求椭圆的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）21设函数f（x）=lnxx2+ax（1）若函数f（x）在（0，e上单调递增，试求a的取值范围；（2）设函数f（x）在点C（1，f（1）处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几
7、何证明选讲22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C，CBD=30（1）证明：DBA=30；（2）若BC=，求AE选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为=2sin（），直线的参数方程为（t为参数），直线和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求PAB面积的最大值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x2|+|x+3|，xR（1）求不等式f（x）x+5的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）a2+4a在R上恒成立，求实数a的取值范围2016年山西省
8、朔州市右玉一中高考数学压轴试卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数 =1+i，则=（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求【解答】解：=1+i，则故选：A2已知集合A=2，1，0，1，2，B=x|1log2x2，则AB=（）A1，0，1B0，1，2C0，1D1，2【考点】交集及其运算【分析】由对数函数的性质、对数的运算性质求出B，由交集的运算求出AB【解答】解：由1log2x2得log2log2xlog24，则集
9、合B=x|x4，因为集合A=2，1，0，1，2，所以AB=1，2，故选：D3在区间（0，4）上任取一数x，则22x14的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：由22x14得2x3，则在区间（0，4）上任取一数x，则22x14的概率P=，故选：C4平面向量与的夹角为30，已知=（1，），|=2，则+|=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知求出|，再由，展开后得答案【解答】解：由=（1，），得，又|=2，且向量与的夹角为30，=，|+|=故选：D5等比数列an中，a5=6，则数列log6an的前9项和等于（）
10、A6B9C12D16【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的性质，求出数列log6an的前9项和【解答】解：等比数列an中，a5=6数列log2an的前9项和等于log6（a1a2a9）=log6a59=9故选：B6如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）Ak3？Bk4？Ck5？Dk6？【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈
11、 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 否故退出循环的条件应为k4？故答案选：B7若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角函数的图象平移得到y=2sin（2x+2）结合该函数为偶函数求得的最小正值【解答】解：把该函数的图象右移个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin（2x+2）又所得图象关于y轴对称，则2=k+，kZ当k=1时，有最小正值是故选：A8已知正三棱锥PABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直
12、，则球心到截面ABC的距离为（）ABCD【考点】球内接多面体【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，球O的半径为，正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积V=SABCh=SPABPC=222=，ABC为边长为2的正三角形，SABC=（2）2=2，h=，球心（即
13、正方体中心）O到截面ABC的距离为=故选：C9下列推断错误的个数是（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1则x23x+20”命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x2=1则x1”“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出原命题的逆否命题判断；写出原命题的否命题判断；求解不等式，然后结合充分必要条件的判定方法判断；写出特称命题的否定判断【解答】解：，命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1则x23x+20”，故正确；，命题“若x
14、2=1，则x=1”的否命题为：若“x21，则x1”，故错误；，不等式x23x+20的解集为x|x1或x2，“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件，故正确；，命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”错误的命题个数是2个故选：B10已知圆（xa）2+y2=4截直线y=x4所得的弦的长度为2，则a等于（）A2B6C2或6D【考点】直线与圆的位置关系【分析】先求出圆心（a，0）到直线y=x4的距离d=，再由勾股定理能求出a【解答】解：圆（xa）2+y2=4截直线y=x4所得的弦的长度为2，圆心（a，0）到直线y=x4的距离d=，=，解得a=2或a=6故选C11一个几
15、何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是（）A4B6C8D10【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体为以正视图为底面，高为2的四棱柱，即可求出这个几何体的体积【解答】解：由三视图可知该几何体为以正视图为底面，高为2的四棱柱，几何体的体积是=6，故选B12F是双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点过点F向C的条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若3=，则C的心离心率是（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m， m），B（n，），由3=，求得点A的坐标，再由FAOA，斜率之积等于1，求出a2=2b2，代入e=进行运算即可得
16、到【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=x，设A（m，），B（n，），3=，3（cm，）=（nc，），3（cm）=nc，=，m=c，n=2c，A（，）由FAOA可得，斜率之积等于1，即=1，a2=2b2，e=故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=45，则a2+a4+a9=15【考点】等差数列的前n项和【分析】推导出=45，从而a1+a9=2（a1+4d）=10，由此利用a2+a4+a9=3a1+12d，能求出结果【解答】解：等差数列an的前n项和为S
17、n，S9=45，=45，a1+a9=2（a1+4d）=10，解得a1+4d=5，a2+a4+a9=3a1+12d=3（a1+4d）=35=15故答案为：1514设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（）6的展开式中含x2项的系数1【考点】二项式系数的性质【分析】利用微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：a=（sinx+cosx）dx=2，则二项式（）6即的通项公式为：Tr+1=令2=2，解得r=0展开式中含x2项的系数是1故答案为：115已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为1【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】先作出不等式组表示的平面区
18、域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由题意可得A（2，2k+2），B（0，2），C（2，0）（d为B到AC的距离）=2k+2=4k=1故答案为：116设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a3）x的导函数为f（x），且f（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为9xy16=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先由求导公式求出f（x），根据偶函数的性质，可得f（x）=f（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程【解答】解：f（x）=x3+ax2+（a
19、3）x，f（x）=3x2+2ax+（a3），f（x）是偶函数，3（x）2+2a（x）+（a3）=3x2+2ax+（a3），解得a=0，f（x）=x33x，f（x）=3x23，则f（2）=2，k=f（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，切线方程为y2=9（x2），即9xy16=0故答案为：9xy16=0三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinBsinC）（sinB+sinC）=sin（C）sin（+C）（1）求角B的值；（2）若=12，b=2，求a，b（其中ca）
20、【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin2B=，进而可求sinB的值，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值（2）利用平面向量数量积的运算可求ac=24，利用余弦定理进而可求a+c=10，结合ca，联立即可解得a，b的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知得，（2）=accosB=12，ac=24又b2=c2+a22accosB=（a+c）23ac，a+c=10，ca，c=4，a=612分18在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，
21、不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平分数和中位数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如表： 参赛选手成绩所在区间 （40，50 （50，60） 每名选手能够进入第二轮的概率假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为（单位：分）43，45，52，58，记这4名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）
22、由频率分布直方图的性质先求出a，由此能估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；（2）根据题意知，成绩在（40，50，（50，60）内选手分别有2名和2名，随机变量X的取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（1）由10（0.01+0.02+0.03+a）=1，解得：a=0.04，由平均数x=10（650.01+750.04+850.02+950.03）=82，由图可知：前两个矩形面积之和为0.5，中位数为80；（2）由题意可知：成绩在（40，50，（50，60）内选手各由两名，则随机变量X的取值为0，1，2，3，4，P（X=0）=，P（X=1）
23、=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）=+=，P（X=3）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 4 PX数学期望E（X）=0+1+2+3+4=19如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与CDE所在的平面交于CD，且AE平面CDE，AE=1（1）求证：平面ABCD平面ADE；（2）设点F是棱BC上一点，当点F满足=2时，求二面角ADEF的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（2）CDDE，如图，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量的坐标运算性质可得F再利用平面法向量的夹角即可得出二面角的平面角【解答】（1）证明：
24、AE平面CDE，AECD又ADCD，AEAD=A，CD面ADE，又CD面ABCD，平面ABCD平面ADE（2）解：CDDE，如图，建立空间直角坐标系Dxyz，在RtADE中，AE=1，AD=2，则，=（0，2，0），=，则设平面FDE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=又平面ADE的法向量为=（0，1，0），cos=，即二面角ADEF的余弦值为20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形面积为（1）求椭圆的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）【
25、考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由离心率公式和三角形的面积公式及a，b，c的关系式，即可得到方程，解出即可得到椭圆方程；（2）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x4）代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出直线AE的方程，令y=0，化简即可得到结论【解答】（1）解：由题意得：，解之得：，则椭圆的方程为： =1；（2）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x4）代入椭圆方程可得，（4k2+3）x232k2x+64k212=0，设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，y1），x1+x2=，x1x2=，又直线AE的方程为yy2=（xx2），令y=0，则x=x2=1，故
26、直线AE过x轴上一定点Q（1，0）21设函数f（x）=lnxx2+ax（1）若函数f（x）在（0，e上单调递增，试求a的取值范围；（2）设函数f（x）在点C（1，f（1）处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，得到在（0，e上恒成立，即，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，得到切线方程，结合函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x）=lnxx2+ax定义域为（0，+），因为f（x）在（0，e上单调递增，所以在（0，e上恒成立所以在（0，e上恒成立，即而在（0
27、，e上单调递增，所以所以（2）因为f（1）=12+a=a1，所以切点C（1，a1），故切线l的方程为y（a1）=（a1）（x1），即y=（a1）（x1）+a1=（a1）x令g（x）=f（x）（a1）x，则g（x）=lnxx2+x则所以当x变化时，g（x），g（x）的关系如下表：x（0，1）1（1，+）g（x）+0g（x）极大值因为g（x）g（1）=0，所以函数f（x）图象上不存在位于直线l上方的点请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C，CBD=30（1）证明：DB
28、A=30；（2）若BC=，求AE【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）DE是O的直径，则BED+EDB=90，又BCDE，可得CBD=BED=30，由于AB切O于点B，可得DBA=BED，即可得出（2）由（1）知BD平分CBA，则由BCDE，可得A=30，再利用切割线定理得AB2=ADAE，即可得出【解答】（1）证明：DE是O的直径，则BED+EDB=90，BCDE，CBD+EDB=90，即CBD=BED=30，AB切O于点B，DBA=BED，即CBD=DBA=30（2）解：由（1）知BD平分CBA，则，由BCDE，CBD=DBA=30，知A=30，又，由切割线定理得AB2=ADAE，选修4
29、-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为=2sin（），直线的参数方程为（t为参数），直线和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求PAB面积的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（I）求出圆C的直角坐标方程，得出圆心坐标，转化为极坐标；（II）求出直线l的普通方程，圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出|AB|，则PAB在AB边上的高最大为d+r【解答】解；（I），2=2sin2cos，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y2x，即（x+1）2+（y1）2=2圆
30、C的圆心为C（1，1），转化为极坐标为（，）（II）直线l的普通方程为2xy+1=0，圆心到直线l的距离d=又圆C的半径r=，|AB|=2=，当P到直线l的距离为d+r时，PAB面积最大PAB面积的最大值为|AB|（d+r）=选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x2|+|x+3|，xR（1）求不等式f（x）x+5的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）a2+4a在R上恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）利用分段函数，分类讨论求得不等式的解集（2）先利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据次最小值大于或等于a2+4a，求得实数a的取值范围【解答】解：（1），当x3时，2x1x+5，x2，不等式无解；当3x2时，5x+5，求得 0x2；当x2时，2x+1x+5，求得2x4综上可得，不等式f（x）x+5的解集为x|0x4（2）f（x）=|x2|+|x+3|x2（x+3）|=5，由a2+4a5，得5a1，实数a的取值范围为5，12016年11月12日