1、天津市第八中学20202021学年第二学期高三年级数学学科 第一次练习启用前保密等级时间:120 分钟;满分150分注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)一、选择题(本大题共9小题,共45分)1. 设集合A=1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x3,则(AC)B=()A. 2B. 2,3C. 1,2,3D. 1,2,3,42. 设xR,则“x25x0”是“|x1|1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(l
2、og25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )A. abcB. cbaC. bacD. bc0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A. x24y24=1B. x2y24=1C. x24y2=1D. x2y2=17. 已知函数f(x)=sin(x+3).给出下列结论:f(x)的最小正周期为2;f(2)是f(x)的最大值;把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象其中所有正确结论的序号是()A. B. C. D. 8. 已知三棱柱
3、ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为3,AB=2,AC=1,BAC=60,则此球的表面积等于()A. 8B. 9C. 10D. 119. 已知函数f(x)=x2+176x+1,2x0,lnx,00)相交于A,B两点若|AB|=6,则r的值为_13. 已知正数x,y满足x+y=1,则4x+2+1y+1的最小值为_ 14. 如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,点P是MD的中点若|AB|=2,|AD|=1,且BAD=60,则APCP=_15. 已知箱中装有10个不同的小球,其中2个红球、3个黑球和5个白球,现从该箱中有放回地依次取出3个小球则3个小球
4、颜色互不相同的概率是;若变量为取出3个球中红球的个数,则的数学期望E()为。三、解答题(本大题共5小题,共75分)16. ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知()求角B的大小;()设a=2,c=3,求b和的值17. 如图,AD/BC且AD=2BC,ADCD,EG/AD且EG=AD,CD/FG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN/平面CDE;(2)求二面角EBCF的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长18. 设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上
5、顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55()求椭圆的方程;()设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率19. 已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a42a1,S11=11b4()求an和bn的通项公式;()求数列a2nb2n1的前n项和(nN).20. 设函数f(x)=x22klnx,k0(1)求f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点天津市第八中学20
6、202021学年第二学期高三年级数学学科第一次练习答案和解析【答案】1. D2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. B10. 32i11. 1012. 513. 9414. 251615. 950;3516.解:()在ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,得bsinA=asinB,又bsinA=acos(B6),asinB=acos(B6),即sinB=cos(B6)=cosBcos6+sinBsin6=32cosB+12sinB,tanB=3,又B(0,),B=3()在ABC中,a=2,c=3,B=3,由余弦定理得b=a2+c22accosB=7,由bsinA=
7、acos(B6),得sinA=37,ac,cosA=27,sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A1=17,sin(2AB)=sin2AcosBcos2AsinB=437121732=331417. ()证明:依题意,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DG的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,32,1),N(1,0,2)设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则n0DC=2y=0n0DE=2x+2z=0,不妨令z=1,
8、可得n0=(1,0,1);又MN=(1,32,1),可得MNn0=0又直线MN平面CDE,MN/平面CDE;()解:依题意,可得BC=(1,0,0),BE=(1,2,2),CF=(0,1,2)设n=(x1,y1,z1)为平面BCE的法向量,则nBC=x1=0nBE=x12y1+2z1=0,不妨令z1=1,可得n=(0,1,1)设m=(x2,y2,z2)为平面BCF的法向量,则mBC=x2=0mCF=y2+2z2=0,不妨令z2=1,可得m=(0,2,1)因此有cos=mn|m|n|=31010,于是sin=1010二面角EBCF的正弦值为1010;()解:设线段DP的长为h,(0,2),则点P
9、的坐标为(0,0,),可得BP=(1,2,),而DC=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故|cos|=|BPCD|BP|DC|=22+5由题意,可得22+5=sin60=32,解得=330,2线段DP的长为3318. 解:()由题意可得2b=4,即b=2,e=ca=55,a2b2=c2,解得a=5,c=1,可得椭圆方程为x25+y24=1;()B(0,2),设PB的方程为y=kx+2,代入椭圆方程4x2+5y2=20,可得(4+5k2)x2+20kx=0,解得x=20k4+5k2或x=0,即有P(20k4+5k2,810k24+5k2),y=kx+2,令y=0,可得M(2k,0),又N
10、(0,1),OPMN,可得810k220k12k=1,解得k=2305,可得PB的斜率为230519. 解:()设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q26=0,又因为q0,解得q=2,所以bn=2n;由b3=a42a1,可得3da1=8,由S11=11(a1+a11)2=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n2;所以,数列an的通项公式为an=3n2,数列bn的通项公式为bn=2n()设数列a2nb2n1的前n项和为Tn,由a2n=6n2,b2n1=124n,有a2nb2
11、n1=(3n1)4n,故Tn=24+542+843+(3n1)4n,4Tn=242+543+844+(3n1)4n+1,上述两式相减,得3Tn=24+342+343+34n(3n1)4n+1=12(14n)144(3n1)4n+1=(3n2)4n+18,得Tn=3n234n+1+83所以数列a2nb2n1的前n项和为Tn=3n234n+1+8320. (1)解:由f(x)=x22klnx,(k0),f(x)=xkx=x2kx,由f(x)=0解得x=kf(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下:x0,kkk,+f(x)0+f(x)k(1lnk)2f(x)的单调递减区间是(0,k),单调递增区间是(k,+),f(x)在x=k处取得极小值f(k)=k(1lnk)2;(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f(k)=k(1lnk)2f(x)存在零点,k(1lnk)20,ke,当k=e时,f(x)在区间(1,e)上单调递减,且f(e)=0,x=e是f(x)在区间(1,e上的唯一零点,当ke时,f(x)在区间(0,e)上单调递减,且f(1)=120,f(e)=ek20,f(x)在区间(1,e上仅有一个零点,综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点