1、高三数学试题本试卷共6页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将集合改写为，由是偶
2、数可得出集合与的包含关系.【详解】，当为整数时，为偶数，又，因此，.故选：A.【点睛】本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2.函数的图象在点 (e为自然对数的底数)处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数在处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；【详解】解：因为，所以，所以又当时，所以切线方程为整理得故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.3.已知，当复数的模长最小时，的虚部为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得复数的模的表达式，结合二次函数的性质求得为何值时模最
3、小，进而求得的虚部.【详解】依题意.故当时，取得最小值.此时，所以的虚部为.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的模的运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.4.已知，为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对：若，则，或与是异面直线，或与相交，故错误；对：若，且， 不妨取交线上一点，作平面的垂线为， 因为，且点，故； 同理可得，故与是同一条直线， 因为，故. 故选项正确.对：只有当与是相交直线时，若，才会有.故错误；对
4、：若，则与的关系不确定，故错误.故选：B.【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.已知随机变量服从正态分布，如果，则（ ）A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.0794【答案】A【解析】依题意得：，故选A6.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象图象或者物理过程标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在19
5、15年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积.【详解】由于图阴影部分的面积为，图的阴影部分的面积为，图的阴影部分面积为，所以图的阴影部分的面积为.故选：C.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.7.已知抛物线与圆相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于轴的直线MN交抛物线于点N，则
6、的周长的取值范围为（ ）A. (3，5)B. (5，7)C. (6，8)D. (6，8【答案】C【解析】【分析】求得两点的坐标，根据抛物线的定义转换周长的表达式，由此求得的周长的取值范围.【详解】画出图象如下图所示.圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为，准线为.由解得，所以.设平行于轴的直线交抛物线的准线于，根据抛物线的定义可知，所以的周长为.而，所以.也即周长的取值范围是.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查圆的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8.已知点O是内一点，且满足，则实数m的值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解
7、析】【分析】将已知向量关系变为：，可设，且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由得：设，则 三点共线如下图所示：与反向共线，, 故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分部分选对的得3分，有选错的得0分9.2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚
8、实的基础下图是统计局公布的2010年2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表则下面结论正确的是（ ）【年底贫困人口的线性回归方程为(其中年份-2019)，贫困发生率的线性回归方程为(其中年份-2009)】A. 2010年2019年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降B 2012年2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低C. 2010年2019年十年间超过1.65亿人脱贫，其中2015年贫困发生率低于6D. 根据图中趋势线可以预测，到2020年底我国将实现全面脱贫【答案】BD【解析】【分析】根据统计表计算出每年脱贫的人口，由此判断出正确选项.【详解】每年脱贫的
9、人口如下表所示：期初期末脱贫人口2009年底至2010年年底165662010年底至2011年年底165661223843282011年底至2012年年底12238989923392012年底至2013年年底9899824916502013年底至2014年年底8249701712322014年底至2015年年底7017557514422015年底至2016年年底5575433512402016年底至2017年年底4335304612892017年底至2018年年底3046166013862018年底至2019年年底16605511109由于缺少年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC
10、选项错误.根据上表可知：年年连续八年每年减贫超过万，且年贫困发生率最低，故B选项正确.根据上表可知，年年连续八年每年减贫超过万，年年底，贫困人口万，故预计到年底我国将实现全面脱贫，故D选项正确.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查统计表分析和数据处理，属于中档题.10.已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到曲线D.
11、 把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线【答案】AC【解析】【分析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项.【详解】由变换到，若先伸缩后平移，则把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若先平移后伸缩，则把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到曲线.所以正确的选项为AC故选：AC【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11.已知曲线，则曲线的图形满足（ ）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 所围成图形的面积为【答案】ABCD【解析】
12、【分析】根据点满足曲线方程，判断出ABC选项正确.画出曲线在第一象限内的图形，并计算出其面积.根据对称性，计算出曲线所围成图形的面积.【详解】设是曲线上任意一点，由于曲线方程为，所以都满足曲线方程，所以曲线的图形满足关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称，故ABC选项正确.当时，曲线方程为，即，是圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示.阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为，根据对称性可知，曲线所围成图形的面积为.故D选项正确.故选：ABCD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.已知函数则下面结论正确的是（ ）A. 是
13、奇函数B. 在上为增函数C. 若，则D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数可判断函数在区间上的单调性，可判断B选项的正误；求得当时，的取值范围，结合偶函数的性质可判断C选项的正误；利用偶函数和单调性解不等式，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，函数的定义域为，则函数为偶函数，A选项错误；对于B选项，当时，则，所以，函数在上为增函数，B选项正确；对于C选项，当时，由基本不等式可得，由于函数在上为增函数，此时，由于函数为奇函数，当时，.综上所述，当时，C选项正确；对于D选项，由于函数为偶函数，由得，由于函数在上为增函数，则，解
14、得，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.的展开式中，的系数为_【答案】【解析】【分析】先求得展开式的通项公式，再根据乘法分配律，求得的系数.【详解】展开式的通项公式为.，根据乘法分配律可知，的展开式中，含的项为.所以的系数为.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题.14.已知则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将条件变形，然后两式平方相加即可得到，再通过条件推出所以在范围，即可得.【详解】解：
15、由已知得，将上述两式两边同时平方后相加可得，整理得，即，又由已知，则，又，则，.故答案为：；.【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.15.已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为_【答案】【解析】【分析】画出图象，利用补形的方法求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】由于平面，所以，而，故可将补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥的外接球，也即球.由于，设，则，所以长方体的对角线长为.设球的半径为，则，所以球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.
16、16.已知函数若，使得，则实数的最大值为_【答案】2【解析】【分析】由题意可知，函数在的值域是函数在上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系求实数的取值范围.【详解】由题意可知，函数在的值域是函数在上值域的子集， ，等号成立的条件是，即，成立，即函数在的值域是 ，是增函数，当时，函数值域是，所以，解得：，所以实数的最大值是2.故答案为：2【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于基础题型.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于
17、A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设（1）把线段PC的长表示为的函数；（2）求四边形ACDP面积的最大值【答案】（1）， ； （2）5【解析】【分析】（1）根据图形，解三角形，利用余弦定理，将线段PC的长表示为的函数；（2）将四边形ACDP面积表示为角的函数,再利用三角函数求最值.【详解】解：（1）依题设易知是以为直角的直角三角形，又，所以. 在，由余弦定理得，.所以， 定义域为.（2）四边形ACDP面积为，则 其中为锐角.因为所以.又因为，所以， 所以当时，取得最大值.所以四边形ACDP面积的最大值为5 .【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求
18、边长，再将所求面积表示为角的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.18.在下面数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，表示第行，第列的数已知（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是，则， ，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，再利用分组求和与裂项相消法求和即可；【详解】解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是，各列中的
19、数从上到下组成的等比数列的公比是，则， ，从而.，从而联立解得，或（舍去）从而，所以.（2）由（1）知，.所以，所以， 所以【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用，分组求和法以及裂项相消法求和，属于中档题.19.在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线（1）求证：平面ADE；（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30，求二面角AFBC的余弦值【答案】（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为二面角AFBC的平面角，求出其余弦值即得
20、.【详解】解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，所以，又，所以均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA/FC.又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即 因为AB为圆的直径，所以，在，所以，所以在因为，又因为，所以平面FBC，又平面FBC，所以.在内，作于点H，连接AH.因为平面ACH，所以平面ACH， 又平面ACH，所以，所以就是二面角
21、的平面角. 在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点P满足到点Q的距离与到直线的距离之比为已知点是圆上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P点分别在轴，y轴上运动，且，动点P满足（1）在，这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)（2）设圆上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标若不过定点，请说明
22、理由【答案】（1）不管选条件几，；（2）以为直径的圆过定点.【解析】【分析】（1）若选，则可设，根据距离之比可得满足的方程，化简后可得所求的方程.若选，根据题设条件可得，由椭圆的定义可得所求的曲线方程.若选，设，则根据新老坐标的关系可求曲线的方程.（2）当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为，根据它与圆相切可得，再设，可用的横坐标表示以为直径的圆，再联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理和前述等式化简得到，从而可得以MN为直径的圆过原点.注意讨论斜率不存在的情况.【详解】解：（1）若选，设，根据题意得， 整理得.所以动点P的轨迹C的方程为.若选，由得， 由题意得，所以， 所以点
23、P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆，且，故所以动点P的轨迹C的方程为.若选，设，故因为，所以即，将其代入得，所以动点P的轨迹C的方程为.（2）当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为.当切线方程为时，以为直径的圆的方程为.当切线方程为时，以为直径的圆的方程为.由联立，可解得交点为.当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为，则，故.联立切线与椭圆C的方程并消去y，得. 因为，所以切线与椭圆C恒有两个交点.设，则，因为，所以 .所以. 所以以MN为直径的圆过原点.综上所述，以为直径的圆过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆位置关系中的定点定值问题.前者可利用椭圆的定
24、义（第一定义、圆锥曲线的统一定义）来求标准方程，也可利用动点转移来求标准方程.而直线与椭圆位置关系中的定点定值问题，一般要联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到定点定值.21.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位某电动汽车厂新开发了一款电动汽车并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时问 (单位：小时)的测试数据如下表：（1）根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间之间满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与之间具有相关性设，利用表格中的前8组数据求相关系数r，并判断是否有99的把握认为与之间具有线性相关
25、关系；(当相关系数r满足时，则认为有99的把握认为两个变量具有线性相关关系)（2）利用与的相关性及表格中前8组数据求出与之间的回归方程；(结果保留两位小数)（3）如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电从表格中的10组数据中随机选出8组，设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望附：相关数据：表格中前8组数据的一些相关量：，相关公式：对于样本，其回归直线的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数【答案】（1）；有99%的把握认为与之间具有线性相关关系（2）（3）见解析，3.2【解析】【分析】（1）先求出相关系数，即得有99%的把握认为之间具有线性相关关系；（2）先求出，再求出所求的
26、回归方程为；（3）由题得X的所有可能取值为2，3，4，再求出对应的概率，即得X的分布列及数学期望.【详解】解：（1）由题意知，. 因为，所以有99%的把握认为之间具有线性相关关系.（2）对两边取对数得，设， 易知.所以.所以所求的回归方程为.（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X的所有可能取值为2，3，4.所以X的分布列如下：所以X的数学期望为.【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查回归方程的求法，考查分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数，其中e是自然对数的底数，（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由【答案】
27、（1）增区间是，减区间是.（2）见解析【解析】【分析】（1）求导函数，分别令，解出不等式，即可得到函数的单调区间；（2）由 得方程 ，显然 为此方程的一个实数解.当时, 方程可化简为，设函数利用导数得到 的最小值, 因为，再对讨论，得到函数的零点个数.【详解】解：（1）因为，所以. 由得；由得.所以由的增区间是，减区间是.（2）因为.由，得或.设，又即不是的零点，故只需再讨论函数零点的个数.因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取得最小值.当即时，无零点； 当即时， 有唯一零点；当，即时，因为，所以在上有且只有一个零点. 令则.设，所以在上单调递增，所以，都有.所以. 所以在上有且只有一个零点.所以当时，有两个零点综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.【点睛】本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.