1、第2章一元二次函数、方程和不等式2.1相等关系与不等关系2.1.3基本不等式的应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x满足x0,则2+3x+的最小值为()A.4-1B.4+2C.4+1D.6答案A解析x0,x+10,2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-12-1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-10时等号成立,2+3x+的最小值为4-1.故选A.2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a0,b0,a+b=-2,则的最大值为()A.-1B.-C.-4D.-2答案D解析a0,b0,b0,且a2+b2=1,则()A.a+bB.a+bC.a+bD.4答
2、案AD解析因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab1+(a2+b2)=2(当且仅当a=b=时等号成立),又a0,b0,则a+b,故A正确;=1+12+2=2+2=4,当且仅当,即a=b=时等号成立,故D正确.故选AD.4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h.答案10解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶 h,最后一辆车驶完全程共需要 h,所以一共需要h,由基本不等式,得2=10,当且仅当v=80时等式成立,故最少需要10 h.5.已知a,b都是正数
3、,满足2a+b=3,则的最小值为.答案3解析a,b都是正数,满足2a+b=3,则(2a+b)=5+(5+4)=3,当且仅当且2a+b=3,即a=b=1时取得最小值3.6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.解x+y=(x+y)=a+b=10+.因为x,y0,a,b0,所以x+y10+2=18,即=4.当且仅当时等号成立.又a+b=10,所以7.(2020黑龙江齐齐哈尔第八中学期中)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)
4、倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a0.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)1.5500,整理得x2-300x0,解得0x300.又x0,故00,a+1.5恒成立.又4,当且仅当x=250时等号成立,00,b0,且2a+b=1,若不等式m恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案B解析=(2a+b)=5+5+2=9,当且仅当,即a=b=时等号
5、成立.所以的最小值为9.又因为m恒成立,所以m9,即m的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值是()A.1B.2C.4D.8答案C解析因为正数a,b满足a+b=1,则2=4,当且仅当,即b=2a=时等号成立.故的最小值是4,故选C.10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是()A.B.C.1D.2答案B解析由题意可知,x0,y0,且x+y=1,由基本不等式可得x2+y22xy,所以2(x2+y2)x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2,当且仅当x=y=时等号成立,
6、因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为.故选B.11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a0,b0.若4a+b=1,则()A.的最小值为9B.的最小值为9C.(4a+1)(b+1)的最大值为D.(a+1)(b+1)的最大值为答案BC解析由题得,(4a+b)=2+2+2=4,当且仅当,即b=4a且4a+b=1时等号成立,故的最小值是4,故A不正确;(4a+b)=5+5+2=9,当且仅当,即b=2a且4a+b=1时等号成立,的最小值为9,故B正确;(4a+1)(b+1),当且仅当4a+1=b+1,即b=4a=时等号成立,故C正确;(a+1)(b+1)=(4a+4)(b+1),当且仅
7、当4a+4=b+1时等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-,b=2时等号成立,但a0,所以等号不能成立,故D不正确.故选BC.12.已知代数式x+(a0).(1)若a=1,求当x0时,x+的最小值为;(2)当x2时,x+存在最小值,则满足条件的一个a的值为.答案(1)2(2)5(答案不唯一,只要a4即可)解析(1)当a=1时,由基本不等式得x+2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+2=2,当且仅当x=,x=时等号成立,故2,即a4.填a4的任意一个a都符合题意.13.对任意m,n为正实数,都有m2-amn+2n20,则实数a的最大值为.答案2解析m
8、,n为正实数,都有m2-amn+2n20,m2+2n2amn,即a恒成立.2=2,当且仅当m=n时等号成立,a2,即最大值为2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有如下关系:y=(v0).在该时段内,当汽车的平均速度为千米/时时车流量最大,最大车流量为千辆/时(精确到0.01).答案4011.08解析y=11.08.当且仅当v=,即v=40,车流量最大,最大为11.08千辆/时.15.(2021浙江模拟)若正实数x,y满足=4,则x+的最小值为.答案2-1解析由=4可得=4-,所以y=,则x+=x+=x+=x+=(x+1)+-1
9、2-1=2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时等号成立.此时x+的最小值为2-1.学科素养创新练16.作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2x6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.解(1)设甲工程队的总造价为y元,则y=31502x+400+7 200=900x+7 200(2x6),900x+7 2009002+7 200=14 400.当且仅当x=,即x=4时等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.(2)由题意可得,当2x6时,900x+7 200恒成立,即,a=(x+1)+6,又x+1+62+6=12,当且仅当x+1=,即x=2时等号成立.a12.a的取值范围为a|0a12.
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