1、河南省郑州市2019-2020学年高二数学下学期5月阶段性学业检测题 理（含解析）说明：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.2.将试题卷中题目的答案填（涂）在答题卷（答题卡）的相应位置.第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（ ）A. 1B. C. -1D. 【答案】A【解析】根据定义可得的虚部 ，故选A.2. 如果10 N力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为A. 0.12 JB. 0.18 JC. 0.26 JD.
2、 0.28 J【答案】B【解析】【分析】由求得弹性系数，再由求得所做功【详解】，在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，克服弹力所做的功为：故选B【点睛】本题考查弹力做功与弹性势能的关系，解题关键是求出弹性系数，然后根据弹性势能公式求出弹簧拉升时所做功3.用反证法证明命题“若,则,全为0（）”其反设正确的是（ ）A. ,至少有一个为0B. ,至少有一个不为0C. ,全不为0D. ,中只有一个为0【答案】B【解析】【分析】根据反设的定义直接判断即可.【详解】“,全为0（）”的反设为“,不全为0（）”即“,至少有一个不为0”.故选：B【点睛】本题主要考查了反证法中的反设问题,其中“全为”的反
3、面为“不全为”或“至少有一个不”.属于基础题.4.设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.5.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，且，则在复平面中所表示的点在第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】由共轭复数的定义可得 在复平面中所表示的点第一象限，故选A.6.在平面直角坐标系中，由直线，与曲线围成的封闭图形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由上图可得所求的面积为 ，故选D.7.记为虚数集,设,则下
4、列类比所得的结论正确的是（ ）A. 由,类比得B. 由,类比得C. 由,类比得D. 由,类比得【答案】B【解析】分析：依次判断每个结论是否正确，注意类比后变量的取值范围.详解：设，则；A错误；，C错误；，则，但不能比较大小，即是错误的，D错误，只有B正确.故选B.点睛：对于选择题中要只有一个命题正确的选项问题，可以用特殊值法进行排除，即举反例说明某些命题是错误，最后只剩下一个命题一定是正确.本题说明实数集的结论有许多在虚数集中不能成立，因此在解题时不能随便引用.8.已知函数的导函数,且满足，则()A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个
5、方程，进行求解【详解】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题本题值得注意的是是一个实数9.利用数学归纳法证明“，”时，从”变到“”时，左边应增加的因式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：依题意，可写出时成立的等式与时成立的等式，二者相除即可得到结论.详解：由题意“”时，左边为，“”时，左边为，从而可得增加两项为，且减少项为，故选D.点睛：本题考查数学归纳法，理清从“”变到“”时左边项数的变化是关键，属于中档题. 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变
6、化规律；二是相邻两项之间的变化规律.10.在区间上，函数f(x)x2pxq与g(x)2x在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是()A. B. C. 8D. 4【答案】D【解析】【分析】先利用基本不等式求得函数的最小值，以及此时x的值，进而根据二次函数的性质列方程组求得p和q，最后根据二次函数的性质求得函数在所给区间上的最大值【详解】根据基本不等式可得，=3，当且仅当时，函数取得最小值所以对于函数，当时，函数也取得最小值3，即，另一方面，对于函数，当时，函数取得最小值3所以所以，所以其对称轴，所以的最大值为=4，答案选D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，函数的最值，二次函数的性质
7、，对于二次函数的对称轴、顶点位置，应能熟练应用，属于中档题11.若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”下列方程：；对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】是一个等轴双曲线，没有自公切线；在处的切线都是故有自公切线，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线，即，结合图象可得，此曲线没有自公切线 故答案为C12.已知，其中，如果存在实数，使，则的值（ ）A. 必为正数B. 必为负数C. 必为非负数D. 必为非正数【答案】B【解析】【分析】求出的解，从而可判断，故可得正确的选
8、项.【详解】，因为存在，使得，故，即令 ，故，又，故即， 故，所以 ，故选：B.【点睛】本题考查函数的的最值、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.函数的单调减区间为_.【答案】，【解析】【分析】求出，利用导数与函数的单调性关系即可得解【详解】因为，所以且.所以，令，解得：或.所以的单调递减区间为，【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，考查计算能力，属于基础题14.函数，则_.【答案】；【解析】【分析】根据定积分运算法则
9、以及定积分的几何意义计算可得答案.【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了定积分的运算法则以及定积分的几何意义，属于基础题.15.在等差数列中，若，则有：（，且）成立.类比上述性质，在等比数列中，若，则有_.【答案】（，且）【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的性质，结合类比的规则，得出答案几何【详解】在等差数列中，若，则有：（，且）成立故相应的在等比数列中，若则有：（，且）证明如下：时，左边右边故有当取其它数时同理可证故答案为：（，且）【点睛】本题考查的是等差等比数列的性质及类比推理，较简单.16.已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：函数的导函数,，
10、若,为增函数;若,或,为减函数；在上有极值,在处取极小值也是最小值；,对称轴,当时,在处取最小值；当时,在处取最小值；当时,在上是减函数,；对任意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,当时,计算得出,故无解;当时,计算得出,综上:,因此，本题正确答案是:.考点：函数最值问题.【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.解决本题的关键是根据题意对任意,存在,使转化为求的最小值大于等于的最小值即可. 类似地这种问题还有存在,存在,使，则转化为求的最大值大于等于的最小值.解决这种问题一定要正确转化.三、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.复数，其中
11、 （1）若，求的模；（2）若是实数，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】（1），则，则，的模为.（2）因为是实数，所以，解得或故或.18.设函数.（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导后，转化条件得恒成立，令即可得解；（2）利用导数求得函数的极小值、极大值，转化条件得或，即可得解.【详解】（1）由题意，因为，即恒成立，所以，可得，所以的最大值为；（2）因为当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减；所以当时，取极大值；当时，取极小值；所以当或时，方程仅有一个实根.所以或即或，故的取值范围为.【
12、点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题的求解，考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于基础题.19.已知函数.（1）若是函数的极值点，求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）利用，解得，再检验可得答案；（2）求导后，对分和讨论，根据可得增区间，可得递减区间.【详解】（1）函数定义域为，因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或经检验，时，是函数的极值点，所以.（2）若，所以函数的单调递增区间为，无递减区间；若，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.综上所述：，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，
13、单调递减区间是.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调区间，属于基础题.20.已知两地的距离是，按交通法规规定，两地之间的公路车速应限制在，假设汽油的价格是6元/升，以速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是36元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？【答案】最经济的车速约为；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为240元.【解析】【分析】根据题设可得，利用导数可求该函数的最小值.【详解】设汽车以行驶时，行车的总费用，所以，令，解得.当时，当时，故是函数的极小值点，也是最小值点，即当车速为时，行车总费用最少，此时
14、最少总费用（元）.答：最经济的车速约为；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为240元.【点睛】本题考查函数的最值、函数与方程，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及应用意识和创新意识，具有一定的综合性，属于中档题型.解决本题的关键是在理解题意的基础上建立函数，并利用导数工具求得最优解.21.设正项数列的前项和为，且满足.（1）计算的值，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明的通项公式.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【详解】（1）当时，得；，得，得猜想（2）证明：（）当时，显然成立，（）假设当时，则当时， 整理得：，即结合
15、，解得于是对于一切的自然数，都有.22.设函数.（1）判断能否为函数的极值点，并说明理由；（2）若存在，使得定义在上的函数在处取得最大值，求实数的最大值.【答案】（1）能（2）【解析】（1）能，理由如下：，令，得；当时，于是在单调递增，在单调递减，在单调递增，故当时，是的极小值点.（2）由题意，当时，恒成立，易得，令，因为必然在端点处取得最大值，即.即，即，解得：，所以的最大值为.【点睛】本题考查函数的极值、函数的最值、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意数形结合思想和转化化归思想的应用.