1、3.2函数的基本性质32.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性知识点一函数单调性的概念1设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2) Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定答案D解析由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定故选D.2已知函数f(x)的定义域为A，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的
2、自变量x1，x2，都有0，则()Af(x)在这个区间上为增函数Bf(x)在这个区间上为减函数Cf(x)在这个区间上的增减性不确定Df(x)在这个区间上为常函数答案A解析当x1x2时，x1x20，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在区间I上是增函数当x1x2时，x1x20，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在区间I上是增函数综合可知，f(x)在区间I上是增函数故选A.知识点二函数单调性的判断与证明3. 函数f(x)的图象如图所示，则()A函数f(x)在1,2上是增函数B函数f(x)在1,2上是减函数C函数f(x)在1,4上是减函数D函数f(x)在2
3、,4上是增函数答案A解析由图象知，f(x)在1,2上是增函数，在(2,4上是减函数，故选A.4(多选)下列四个函数在(，0)上为增函数的是()Ay|x|1 ByCy Dyx答案CD解析对于A，y|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；对于B，y1(x0)在(，0)上既不是增函数，也不是减函数；对于C，yx(x0)在(，0)上是增函数；对于D，yxx1(x0)在(，0)上是增函数5证明：(1)函数f(x)x2在区间(0，)上是增函数；(2)函数f(x)x3x在R上是增函数证明(1)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)xx(x1x2).因为0x1x2，所以x1x20，x1x
4、20.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)x2在区间(0，)上是增函数(2)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则x2x10，而f(x2)f(x1)(xx2)(xx1)(x2x1)(xx2x1x)(x2x1)(x2x1)(xx2x1x1)(x2x1).因为2x10，x2x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)因此函数f(x)x3x在R上是增函数知识点三求函数的单调区间6函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1 B(，0，1，)C0，)，(，1 D0，)，1，)答案C解析f(x)|x|的递增区间是0，)，
5、g(x)x22x(x1)21的递增区间为(，17函数f(x)的单调区间为()A(，0)，0，) B(，0)C0，) D(，)答案A解析函数f(x)的大致图象如图所示由图可知函数f(x)的单调区间为(，0)，0，)8求函数y 的单调递减区间解y 的定义域为(，31，)设y，ux22x3.当x1时，u是x的增函数，y是u的减函数，故y是x的减函数1，)是y 的单调递减区间当x3时，u是x的减函数，y是u的减函数，故y是x的增函数(，3是y 的单调递增区间故所求函数的单调递减区间为1，)9已知函数f(x)82xx2，g(x)f(2x2)，试求g(x)的单调区间解令u(x)2x2，则u(x)在(，0上
6、为增函数，在0，)上为减函数，且u(0)2.f(x)82xx2(x1)29在(，1上为增函数，在1，)上为减函数令x221，则x1.当x(，1时，u(x)为增函数，值域为(，1，且f(x)在(，1上也为增函数g(x)在(，1上为增函数同理，g(x)在1,0上为减函数，在0,1上为增函数，在1，)上为减函数函数g(x)的单调递增区间是(，1，0,1，单调递减区间是1,0，1，)知识点四函数单调性的应用10若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是()Af(a)f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)f(a2)答案D解析因为f(x)是R上的减函数，且a21
7、a2，所以f(a21)f(a2)故选D.11已知函数f(x)x24xc，则()Af(1)cf(2) Bcf(2)f(1)Ccf(1)f(2) Df(1)cf(2)答案D解析二次函数f(x)x24xc图象的对称轴为x2，且开口向上，所以在2，)上为增函数，所以f(2)f(0)f(2)12已知函数f(x)在R上是减函数，若ab0，则下列判断正确的是()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)答案D解析由函数f(x)在R上是减函数，ab，ba，可知f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f
8、(a)f(b)13已知函数f(x)是定义在0，)上的增函数，则满足f(2x1)f的x的取值范围为_答案解析由题意知02x1，解得x.14若函数yx22ax1的单调递增区间是2，)，则实数a的取值范围是_；若函数yx22ax1在区间2，)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案22，)解析对称轴x0a恰好在x2处，即a2，即a2；对称轴x0a应在x2处或其左侧，即a2，解得a2.易错点一忽视单调区间的端点值而致误函数y在(2，)上为增函数，则a的取值范围是_易错分析分离常数后解析式为y1，根据单调性得出函数的单调增区间为(，a)，(a，)，由于忽视了端点值而得出a2的错误结论答案a2正解y1依题意
9、，得函数的单调增区间为(，a)，(a，)，要使函数在(2，)上为增函数，只要2a，即a2. 易错点二漏掉定义域致误已知f(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围易错分析解不等式f(1a)2a1来解，容易忽视定义域(1,1)导致错误正解由题意知解得0a，即a的取值范围是.一、单项选择题1若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)(b，c)上()A必是增函数 B必是减函数C是增函数或减函数 D无法确定单调性答案D解析例如y在(，0)上递增，在(0，)上递增，但在(，0)(0，)上不具有单调性2函数f(x
10、)x22x3的单调递减区间是()A(，1) B(1，)C(，2) D(2，)答案B解析易知函数f(x)x22x3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x1，所以其单调递减区间是(1，)3下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()Ay5x ByCyx22 Dy|x|答案C解析A，B，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数yx22在(0,2)上是增函数4函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1x2)(f(x1)f(x2)0，则f(x)在(a，b)上是()A减函数B增函数C既不是增函数也不是减函数D常数函数答案A解析因为(x1x2)(f(x1)f(x2)0，所以或
11、即当x1f(x2)或当x1x2时，f(x1)f(x2)不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数5若二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，则a的取值范围是()A(，1 B(，2C1，) D2，)答案B解析二次函数的对称轴方程为x，由题意知1，即a2，故a的取值范围是(，26已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x22x)f(3)的实数x的取值范围是()A1,3 B(，1)(3，)C(3,3) D(，3)(1，)答案B解析因为f(x)为R上的减函数，且f(x22x)3，即x22x30，解得x3，所以满足f(x22x)0，故a的取值范围为(0,18已知f(x)是定义
12、在R上的减函数，那么a的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析要使f(x)在(，)上为减函数，必须同时满足3个条件：g(x)(3a1)x4a在(，1)上为减函数；h(x)x1在1，)上为减函数；g(1)h(1)所以所以a.二、多项选择题9关于函数f(x)的结论，正确的是()A定义域是1,6B单调递减区间是0,6C值域是(0，)D单调递增区间是答案AD解析由题意知x25x60，所以(x6)(x1)0，所以1x6.函数yx25x6图象的对称轴是直线x，开口向下，在区间1,6上，所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间为，易知函数f(x)的值域为.故选AD.10已知f(x)2x1，g(x)1x，
13、则下列结论正确的是()A函数f(x)和g(x)在R上具有相反的单调性B函数f(g(x)和g(f(x)在R上具有相反的单调性C函数f(g(x)和g(f(x)在R上具有相同的单调性D函数f(g(x)和g(f(x)在R上都是单调函数答案ACD解析易知A正确；而f(g(x)12x，g(f(x)22x，故f(g(x)和g(f(x)都是单调函数且具有相同的单调性故选ACD.11下列函数在区间(0，)上是增函数的是()Ay2x1 Byx21Cy3x Dyx22x1答案ABD解析函数y3x在区间(0，)上是减函数，其他函数在(0，)上是增函数12已知函数f(x)在区间(2，)上单调递增，则a，b的取值可以是(
14、)Aa1，b B0a1，b2Ca1，b2 Da，b1答案ABD解析根据题意，函数f(x)，其定义域为，若函数f(x)在区间(2，)上单调递增，必有2且30，即03，据此分析A，B，D符合故选ABD.三、填空题13. 如图是定义在闭区间5,5上的函数yf(x)的图象，根据图象可知yf(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_答案2,1)，3,55，2)，1,3)(开区间，闭区间，半开半闭区间均正确)解析由单调性的几何意义知，函数yf(x)的单调递增区间是2，1)，3,5，单调递减区间是5，2)，1,3)14若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则函数yax2bx在(0，)上是单调_函数答案减解
15、析yax和y在(0，)上都是减函数，a0，b0，yax2bxa2，对称轴x0，yax2bx在(0，)上是单调减函数15若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案6解析作出函数f(x)|2xa|的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为，即3，a6.16若函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是_答案(0,3解析当x1时，函数f(x)x21单调递增要使f(x)在R上单调递增则满足即故0a3，即a的取值范围是(0,3四、解答题17作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间解f(x)的图象如图所示，由图象可知，函数的单调递减区间为(，1和(1,2；单调递增区间为(
16、2，)18若函数f(x)是减函数，求实数a的取值范围解由题意可得解得3a1，则实数a的取值范围是3，119已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并用单调性的定义加以证明解(1)由x210，得x1，所以函数f(x)的定义域为xR|x1(2)函数f(x)在(1，)上是减函数证明：任取x1，x2(1，)，且x1x11，所以x10，x10，x2x10，x2x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(1，)上是减函数20函数f(x)对任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2)3.解(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)故f(x)在R上是增函数(2)f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3.原不等式可化为f(3m2)f(2)f(x)在R上是增函数，(3m2)2，解得m.故不等式的解集为.