1、2022届高考数学精创预测卷 全国甲卷 理科（全国甲卷）2022届高考数学精创预测卷 理学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.若复数z满足，则为( )A.1B.2C.3D.43.关于统计数据的分析，有以下几个结论：将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距；一组数据的方差一定是正数；如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在的汽车大约是60辆.则这四个结论中错误的个数是()A.1B.2C.3D.44.一种放射性元素的质量按每年10%衰
2、减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（精确到0.1，已知,）( )A.5.2年B.6.6年C.7.1年D.8.3年5.已知F是双曲线的右焦点，点，连接AF与渐近线交于点M，则C的离心率为()A.B.C.D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.7.数列的前n项和为，且，则“”是“数列为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处
3、的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A.海里B.海里C.海里D.40海里9.已知，则等于( )A.B.C.D.10.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，若每个村的小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村的小学的概率为()A.B.C.D.11.已知正方体的表面积为24，则四棱锥的体积为( )A.B.C.D.12.已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则( )A.B.C.D.二、填空题13.已知函数，则函数在点处的切线方程为_.14.已知向量,若,则向量与的夹角为_.15.已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆
4、上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则_.16.若函数的部分图像如图所示，则函数在上的单调递增区间为_.三、解答题17.2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都在内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间的频率依次构成等差数列.若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；(2
5、)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？优秀不优秀合计理科生文科生合计1000附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.已知数列，满足，为数列的前n项和，.(1)求数列,的通项公式；(2)令,求数列的前n项和.19.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，为BC的中点，.(1)证明：平面ABCD；(2)若PC与平面PAD所成的角为30，求二面角的余弦值.20.已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别
6、与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.21.已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.23.已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围.参考答案1.答案：D解析：由，得，解得，又，故选D.2.答案：B解析：，复数，故选B.3.答案：B
7、解析：对于，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，正确.因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小.对于，错误.因为频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率.对于，错误.因为根据方差的计算公式得出方差是非负数.对于，根据频率分布直方图得，时速在的汽车大约是（辆），所以正确.综上，错误的结论是，共2个.故选B.4.答案：B解析：设这种放射性元素的半衰期是x年，则,化简得，即（年）.故选B.5.答案：A解析：由已知得，（舍负），故选A.6.答案：B解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为矩形(长为4、宽为2)，高为4的四棱锥，其中一个侧面与底面垂直，所以该几何体的
8、表面积，故选B.7.答案：A解析：因为，所以，即，所以，所以无论a为何值，数列都为等差数列.所以“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A.8.答案：A解析：在中，所以.由正弦定理可得，解得.在中，所以.在中，由余弦定理可得，解得（海里）.所以A，B两处岛屿间的距离为海里.9.答案：D解析：由得，所以，故选D.10.答案：C解析：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，每个村的小学至少分配1名大学生，基本事件总个数，小明恰好分配到甲村的小学包含的基本事件个数，所以小明恰好分配到甲村的小学的概率.故选C.11.答案：C解析：设正方体的棱长为a，因其表面积为
9、24，所以，所以.连接交于点O，则，所以在正方体中，平面，即平面，所以是四棱锥的高，且.又，所以.故选C.12.答案：B解析：由是偶函数，得，即.由是奇函数，得，即，所以，则的周期.由是奇函数，得.因为在上单调递增，所以，所以，即.故选B.13.答案：解析：，函数在点处的切线斜率，所求的切线方程为，即.14.答案：解析：由向量知.又，则，即向量与的夹角为.15.答案：解析：设，则由得，代入式得.，又，.16.答案：解析：由函数的部分图像，可得，求得.再根据五点作图法可得，.又，.令，解得，故函数的增区间为，.再根据，可得增区间为.17.答案：(1)理科学生得分的平均值为73分.(2)表格见解析
10、，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，则，解得，理科学生得分的平均值为(分).(2)理科学生优秀的人数为，补全22列联表如表所示，优秀不优秀合计理科生150450600文科生50350400合计2008001000，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.18.答案：(1)；.(2).解析：(1)由题可知，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以.由得.(2)由(1)得，所以.所以.19.答案：(1)证明过程见解析.(2)余弦值为.解析：(1)证明：易知，所以，故，
11、即，又，所以平面PAE，又平面PAE，所以，又，所以平面ABCD.（2）由平面ABCD，得，又，所以平面PAD，所以为PC与平面PAD所成的角，则，在中，所以，又，所以.以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PDE的法向量为，则取，则，所以，易知平面PAE的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.答案：(1)方程为.(2)证明过程见解析.解析：(1)由点在抛物线上可得，解得.由抛物线的定义可得，整理得，解得或(舍去).故抛物线C的方程为.(2)由在抛物线C上可得，解得，所以，直线OE的方程为.易知，均不为0.由题
12、意知直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为，联立，得消去y，得.则，得，所以，.由直线OE的方程为，得.易知直线OB的方程为，故.数形结合可知，要证，即证，即证，即证，即证，则，此等式显然成立，所以.21.答案：（1）当时，在上单调递增（2）的最大值为3解析：（1）函数的定义域为，（下面分及讨论导函数的正负）当时，恒成立，在上单调递增.当时，令，当时，在上恒成立，.所以恒成立，在上单调递增.当时，当时，单调递减；当时，单调递增，（等号不恒成立），在上单调递增.综上，当时，在上单调递增.（2）依题意，得，则即两式相除得，设，则，.（利用比值代换，则有，从而将双变量问题变为单变量问题来解决）设，则.（构造函数并利用导数研究函数的最值即可）设，则，在上单调递增，此时.，则在上单调递增.又，即，而，即的最大值为3.22.答案：(1)直线l的普通方程为曲线C的直角坐标方程为(2)解析：(1)直线l的参数方程，消去参数t，得直线l的普通方程为，由曲线C的极坐标方程，得，所以曲线C的直角坐标方程为.(2)直线l的参数方程可写为(t为参数)，代入，得，设A，B两点的参数为，则.所以.23.答案：(1)的解集为(2)解析：(1)由题设，当时，可得，当时，无解，当时，可得.综上，的解集为.(2)，要使的解集不是空集，只需即可，.