1、宁夏六盘山高级中学2020届高三数学第四次模拟测试试题 文（含解析）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内2选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚3做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，再进行交集运算即可.【详解】集合，所以故选C.【点睛】本题考查一元二次不等式的
2、解法，集合的交集运算，属基础题.2.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题.命题“”的否定是:“”所以B选项符合.故选：B【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.3.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出的值，根据，即得答案.【详解】，又，.故选：.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.4.等比数列中，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由等比数列知识可知，进而求出的
3、值，再由进行计算即可得解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.5. 由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 以上都不是【答案】A【解析】试题分析：从推理形式上看，由特殊到特殊的推理是类比推理，由部分到整体，个别到一般的推理是归纳推理，由一般到特殊的推理是演绎推理考点：逻辑推理.6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构
4、成，两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点，此点取自区域的概率记为，取自区域的概率记为，则（）A. B. C. D. 与的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分的面积阴影部分的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，阴影部分M的面积为：，阴影部分的面积阴影部分的面积，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为
5、，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，所以，圆锥的底面圆周长为，解得.故选：D.【点睛】本题考查圆锥底面半径的计算，考查了圆锥侧面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可【详解】解：ycos（2x）sin2x，是奇函数，函数的
6、周期为：，满足题意，所以A正确ysin（2x）cos2x，函数是偶函数，周期为：，不满足题意，所以B不正确；ysin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为，所以C不正确；ysinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2，所以D不正确；故选A考点：三角函数的性质.9.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向量数量积公式转化，并计算
7、的值.【详解】由题意可知，所以根据等面积转化可知，解得： ，.故选：A【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.10.在中，设分别是角所对的边长，且直线与垂直，则一定是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题首先可以结合角是的内角排除两条直线一条平行于轴、一条平行于轴的情况，然后根据两直线垂直得出，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】当，时，两直线方程为、，相互垂直，因为角是的内角，所以与不可能同时为，故排除这种情况，因为直线与垂直，所以，即，故一
8、定等腰三角形，故选：C.【点睛】本题考查两直线垂直的相关性质，若两直线与垂直，则满足一条直线平行于轴、一条直线平行于轴或，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.11.已知是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】设为的中点，由，可得为等腰三角形，由双曲线的定义可得，在直角三角中，可求出答案.【详解】如图，设为的中点，则,由，即,所以所以为等腰三角形，由双曲线的定义有：，所以则直角三角中，所以所以，则故选：D【点睛】本题考查向量在平面解析几何中的应用，求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理，属于中档题.12.已知函数且
9、则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数，不等式等价于，再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式.【详解】由题意可知， 是偶函数，且当时，在区间上，函数单调递增， 原不等式等价于，即，即，解得：，即不等式的解集是.故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用函数性质解抽象不等式，对数不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数是纯虚数，则实数_【答案】1【解析】【分析】根据复数为纯虚数得出复数的实部为零，虚部不为零
10、，由此可解得实数的值.【详解】由于复数为纯虚数，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，考查计算能力，属于基础题.14.等差数列中，已知，则其前9项和_【答案】81【解析】【分析】由等差数列的性质：若，则可得，即可求出的值，同理可求得，根据求和公式及等差的性质可得，代入数据即可求解.【详解】在等差数列中，所以，同理，所以，所以.故答案为81.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和的计算，注意灵活应用此性质，可大大降低计算难度，属基础题.15.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程【详解】由，则由题意，则所以曲线在点
11、处的切线的斜率为所以所求切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是属于基础题.16.正三棱柱的所有棱长都相等，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则为异面直线与所成角，解三角形即可【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，其中，连接，因为，所以为异面直线与所成角（或其补角），设，则，为正三角形，由余弦定理得，则，异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，
12、每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：（每道题12分，共60分）17.已知的内角，所对的边长分别为，的面积为，且（1）求的值；（2）若，求【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由得，即可求出的值；（2）由和，易得和的值，再由可得出的值，进一步可得，进而得出，最后得出.【详解】（1）由得，即，；（2），即，又，又，由可得，又已知，或（舍去），故为等腰三角形，所以【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系，考查简单三角恒等变换，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.18.在贯彻精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、
13、乙两村各户贫困户，工作组对这户村民的年收入、劳动能力、子女受教育等情况等进行调查，并把调查结果转换为贫困指标，再将指标分成、五组，得到如下图所示的频率分布直方图若规定，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当时，认定该户为“低收入户”，当时，认定该户为“亟待帮助户”已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；（2）某干部决定在这两村贫困指标在、内的贫困户中，利用分层抽样抽取户，现从这户中再随机选取户进行帮扶，求所选户中至少有一户是“亟待帮助户”的概率甲村乙村总计绝对贫困户相对贫困户总计附：，其中【
14、答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为绝对贫困户数与村落有关；（2）.【解析】【分析】（1）计算出甲村中“绝对贫困户”的户数，计算出甲、乙两村的“绝对贫困户”户数之和，可得出列联表，可计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算出所抽取的户中，抽到的“亟待帮助户”户数为，分别记为、，抽到不是“亟待帮助户”户数为，分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有（户），甲、乙两村的“绝对贫困户”有（户），可得出下表：甲村乙村总计绝对贫困户相对贫困户
15、总计所以的观测值，查表可知，没有的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；（2）贫困指标在内的贫困户共有（户），亟待帮助户共有（户），所以利用分层抽样抽取户，抽到的“亟待帮助户”户数为（户），分别记为、，抽到不是“亟待帮助户”户数为（户），分别记为、，所有的基本事件有：、，共个，其中，事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户”所包含的基本事件有：、，共个.因此，事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户”的概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.19.如图，为圆的直径，点，在圆上，矩形所在平面和圆所在平面互相垂直，已知，
16、（1）求证：平面平面（2）若几何体和几何体的体积分别为和，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得平面ABEF，从而得到，由圆的直径的性质得，故得出平面ADF，从而得出平面DAF平面CBF；（2），设，则可用a表示出，从而得出体积比【详解】（1）平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD，平面ABEF，平面ABE，AB是圆O的直径，又平面ADF，平面ADF，平面ADF，平面BCF，平面DAF平面CBF；（2）如图，连结、，则，是等边三角形，过作于，则，平面，设，则， .【点睛】本题考查平面与平面垂直判定，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能
17、力和计算能力，属于常考题.20.已知双曲线的左右焦点分别为，的周长为12（1）求点的轨迹的方程（2）已知点，是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）不存在，答案见解析.【解析】【分析】（1）依题意根据椭圆的定义可知点的轨迹为椭圆，（除去与x轴的交点），设方程为，由，求出即可得到椭圆方程；（2显然直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；当直线的斜率存在时，设方程为，联立直线与椭圆方程，消元，由求出的取值范围，设点，的中点，列出韦达定理，表示出，由又，得到，得到方程判断方程的解即可；【详解】解：（1）由题意可得，又的周长为12，
18、点P的轨迹是椭圆（除去与x轴的交点），设方程为，点的轨迹C的方程为（2）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则，联立，得，由，解得，且设点，的中点，又，此方程无解综上所述，不存在直线使得【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若且时，求的取值范围【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，求得该函数的导数，求出该函数的极值点，并分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由题意得出不等式对任意的恒成立，
19、构造函数，可得出，利用导数分析函数在区间上的单调性，求得函数的最小值，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，令，得当时，；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）等价于，即.令，则,函数在上单调递增，解得，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.（二）选考题：（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），在以原点O为极点，x的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为（1）求曲
20、线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是曲线上任意一点，求面积的最大值【答案】（1），；（2）4.【解析】【分析】（1）利用消去曲线参数方程中的参数得到的普通方程，利用两角和的余弦公式和将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点P的坐标为，可求出点P到直线的距离，易得，进而求出面积的最大值.【详解】（1）由（为参数）消去参数，得，所以曲线C的普通方程为：，由，得，可得直线的直角坐标方程为：；（2）设点P的坐标为，则点P到直线的距离为：，又直线与x轴，y轴的交点分别为，所以，所以面积的最大值为【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程
21、与直角坐标方程的互化，考查参数法解决三角形面积的最值问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化能力，属于常考题.23.已知函数f(x)|2xa|2x1|(aR).(1)当a1时，求f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含集合，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）代入，由，根据绝对值的几何意义，求出满足条件的的值即可；（2）根据题意，把，转化为在上恒成立，求解，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)当a1时，f(x)|2x1|2x1|，f(x)21，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点，距离之和小于或等于1，则x，即原不等式的解集为.(2)f(x)|2x1|的解集包含，当x时，不等式f(x)|2x1|恒成立，当x时，|2xa|2x12x1恒成立，2x2a2x2在x上恒成立，(2x2)maxa(2x2)min，0a3.