1、巩固层提升层拓展层章末综合测评章末分层突破自我校对平均变化率瞬时变化率切线的斜率导数的概念和几何意义 1.导数的概念(1)导数：f(x0)limx0fx0 xfx0 xx 是自变量 x 在 x0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f(x0)是一个常数(2)导函数：f(x)limx0fxxfxxf(x)为 f(x)的导函数，是一个函数2导数的概念及几何意义(1)函数 f(x)在 xx0处的导数等于曲线在该点处的切线斜率，即 kf(x0)(2)函数 f(x)在 xx0处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)(3)求函数 f(x)过某点的切线方程应遵循“设切点写切线求切点得方程”的过程 已
2、知曲线 y13x343.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为 1 的曲线的切线方程【精彩点拨】切点坐标切线斜率切线方程.【规范解答】(1)P(2,4)在曲线 y13x343上，且 yx2，在点 P(2,4)处的切线的斜率为 k4.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为：y44(x2)，即 4xy40.(2)设曲线 y13x343与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x3043，则切线的斜率为 kx20.切线方程为 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 P(2,4)在切线上，42x2023x
3、3043，即 x303x2040，x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为：xy20 或 4xy40.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为 x201，x01.切点为(1,1)或1，53，切线方程为：y1x1 或 y53x1.即 xy20 或 3x3y20.再练一题1已知曲线 f(x)x33x，过点 A(0,16)作曲线 yf(x)的切线，求该切线方程【解】设切点坐标 M(x0，x303x0)则切线的斜率 kf(x0)3x203，切线方程 y(3x203)x16.又因为点 M 在切线上，所
4、以 x303x0(3x203)x016，得 x02.所以切线方程为 y9x16.导数的运算 求一个函数的导数的基本方法有三种：一是利用定义，二是利用基本初等函数的导数公式，三是把函数分解成为基本初等函数的和、差、积、商的运算，再利用导数的运算法则进行计算，其中以第三种较为常见在第三种运算中，对不具备求导法则所要求的结构形式的函数要进行适当的变形，比如(1)函数中有两个以上因式乘积的形式，可利用多项式的乘法展开后再求导(2)利用代数恒等变形，避开商的求导，简化运算(3)利用三角恒等变形简化求导过程等等 求下列函数的导数(1)yxx5x13x2；(2)y11 x11 x；(3)yexln(2x)；
5、(4)ysin x2(12cos2 x4)【精彩点拨】观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解【规范解答】(1)yxx5x13x2x12x5x13x2x-32x3x-73y32x-523x273x-103.(2)y11 x11 x 21x.y21x2.(3)yexln 2x，yex(ln 2ln x)exln 2exln xyexln 2exln xexx(4)ysin x212cos2 x4sin x2cos x212sin x，y12cos x.再练一题2求下列函数的导数(1)y3x2xcos x；(2)ytan xx；(3)yx22x5x3.【解】(1
6、)y(3x2)(xcos x)6xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)法一：ytan xxtan xx2xcos2xtan xx2xcos2 xtan xx2cos2 xxsin xcos xx2cos2 x.法二：ysin xxcos xsin xxcos xsin xxcos xx2cos2 xxcos2 xsin xcos xxsin xx2cos2 xxsin xcos xx2cos2 x.(3)y1x2x25x3x12x25x3，yx22(2)x35(3)x41x24x315x4.方程思想 利用方程的思想解题，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，需列出这
7、些量满足的方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们本章中利用导数处理与切线斜率等有关的问题，通常需要根据已知条件建立相关含参数的方程(组)求解 设抛物线 C1：yx22x2 与抛物线 C2：yx2axb 在它们的一个交点处的切线互相垂直(1)求 a、b 之间的关系；(2)若 a0，b0，求 ab 的最大值【精彩点拨】由两曲线方程可求(表示)出公共点坐标 P(x0，y0)，在 P 处两切线斜率可利用在 P 处导数表示，建立方程从而解决问题【规范解答】(1)设两抛物线的交点为 P(x0，y0)，由题意知 x202x02x20ax0b，整理得 2x20(2a)x02b0由导数可得抛物线 C1
8、、C2在交点 P 处的切线斜率为：k12x02，k22x0a.因两切线互相垂直，则有 k1k21，即(2x02)(2x0a)1，整理得 22x20(2a)x02a10联立和，消去 x0得 ab52.(2)由(1)知 ab52，又 a0，b0，abab2252222516.当且仅当 ab54时取等号，故 ab 的最大值为2516.再练一题3已知函数 f(x)ax6x2b的图像在点 M(1，f(1)处的切线方程为 x2y50.求函数 yf(x)的解析式【解】由函数 f(x)的图像在点 M(1，f(1)处的切线方程为 x2y50，知12f(1)50，即 f(1)2.由切点为 M 点得 f(1)12.
9、f(x)ax2b2xax6x2b2.a61b 2，a1b2a61b212.即a2b4，a1b2a61b212.解得 a2，b3 或 a6，b1(由 b10，故 b1 舍去)所以所求的函数解析式是 f(x)2x6x23.1已知函数 f(x)ax3x1 的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1.又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得 a1.【答案】12已知曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a_.【导学号：63470072】【解析】
10、法一：yxln x，y11x，yx1 2.曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即 y2x1.y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切，a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行)由y2x1，yax2a2x1，消去 y，得 ax2ax20.由 a28a0，解得 a8.法二：同法一得切线方程为 y2x1.设 y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax20(a2)x01)y2ax(a2)，yxx0 2ax0(a2)由2ax0a22，ax20a2x012x01，解得x012，a8.【答案】83设曲线 yex在点(0,1)处的切线与曲线 y1x
11、(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_【解析】yex，曲线 yex在点(0,1)处的切线的斜率 k1e01，设 P(m，n)，y1x(x0)的导数为 y1x2(x0)，曲线 y1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2(m0)，因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1,1)【答案】(1,1)4在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_【解析】yax2bx的导数为 y2axbx2，直线 7x2y30 的斜率为72.由题意得4ab25，4ab472，解得a1，b2，则 ab3.【答案】35设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.【导学号：63470073】【解析】令 ext，则 xln t，所以 f(x)ln xx，即 f(x)11x，则 f(1)112.【答案】2章末综合测评（三）点击图标进入