1、第1节 导数的概念与导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数.知 识 梳 理 1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率0limx f（x0 x）f（x0）x0limx yx为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)0limx yx0l
2、imx f（x0 x）f（x0）x.(x0，f(x0)(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点处的.相应地，切线方程为.切线的斜率yy0f(x0)(xx0)2.函数yf(x)的导函数 如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c为常数)f(x)_ f(x)x(Q)f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ f(x)ex f(x)_ 0 x1
3、cos xsin xexf(x)ax(a0且a1)f(x)_ f(x)ln x f(x)_ f(x)logax(a0，a1)f(x)_ axln a1x1xln a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）(g(x)0).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）25.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.y对uu对x常用结论与易错提醒 1.f(x0)与x0的值有关，
4、不同的x0，其导数值一般也不同.2.f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(3)(2x)x2x1.()(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.()解析(1)f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x
5、0)是常数f(x0)的导数即(f(x0)0；(3)(2x)2xln 2；(4)(e2x)2e2x.答案(1)(2)(3)(4)2.函数yxcos xsin x的导数为()A.xsin xB.xsin x C.xcos xD.xcos x 解析 y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.答案 B 3.(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_.解析 y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率ke033，所以所求切线方程为y3x.答案 y3x 4.(2020南通一调)若曲线yxln x
6、在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_.解析 因为yln x1，所以(ln 11)(ln t1)1，ln t2，te2.答案 e2 5.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)12f(1)e2x2x22f(0)x，则 f(0)_；f(x)_.解析 f(x)12f(1)e2x2x22f(0)x，f(x)f(1)e2x22x2f(0)，f(1)f(1)22f(0)，f(0)1，即 112f(1)e2，f(1)2e2，f(x)e2xx22x.答案 1 e2xx22x 6.(2020杭州四中仿真)已知函数f(x)x3axb的图象在点(1，f(1)处的切线方程为2xy50，则a_；b_.解
7、析 由题意得 f(x)3x2a，则由切线方程得f（1）1ab215，f（1）3a2，解得a1，b3.答案 1 3 考点一 导数的运算【例 1】求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)ycos xex；(3)yxsin2x2 cos2x2；(4)yln(2x5).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)ycos xex（cos x）excos x（ex）（ex）2sin xcos xex.(3)yxsin2x2 cos2x2 12xsin(4x)12xsin 4x，y12sin 4x12x4cos 4x12sin 4x2xcos 4x.(4)令
8、u2x5，yln u.则 y(ln u)u12x5222x5，即 y22x5.规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.【训练 1】分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsinx2
9、cosx2；(4)yln 12x.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex1xln x1x ex.(2)yx311x2，y3x22x3.(3)yx12sin x，y112cos x.(4)yln 12x12ln(12x)，y12112x(12x)112x.考点二 导数的几何意义 角度 1 求切线的方程【例 21】(1)(2019全国卷)曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程为()A.xy10 B.2xy210C.2xy210 D.xy10(2)已知曲线 y13x3 上一点 P2，83，则过点 P 的切线方程为_.多维探究解析(1)设yf(x)2sin xco
10、s x，则f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C.(2)设切点坐标为x0，13x30，由 y13x3 x2，得 y|xx0 x20，即过点 P 的切线的斜率为 x20，又切线过点 P2，83，若 x02，则 x2013x3083x02，解得 x01，此时切线的斜率为 1；若 x02，则切线的斜率为 4.故所求的切线方程是 y83x2 或 y834(x2)，即 3x3y20 或 12x3y160.答案(1)C(2)3x3y20或12x3y160 角度2 求参数的值【例22】(1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x
11、在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1B.ae，b1 C.ae1，b1D.ae1，b1(2)(2020杭州质检)若直线yx与曲线yexm(mR，e为自然对数的底数)相切，则m()A.1B.2 C.1D.2 解析(1)因为 yaexln x1，所以 ky|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1.所以ae12，b1，即ae1，b1.(2)设切点坐标为(x0，ex0m).由yexm，得yexm，则切线的方程为yex0mex0m(xx0)，又因为切线yx过点(0，0)，代入得x01，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代
12、入yexm中，解得m1，故选C.答案(1)D(2)C 角度3 公切线问题【例23】(一题多解)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析 法一 yxln x，y11x，y|x12.曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切，a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行).由y2x1，yax2（a2）x1消去 y，得 ax2ax20.由 a28a0，解得 a8.法二 同法一得切线方程为 y2x1.设 y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切于 点(x0，ax
13、20 (a 2)x0 1).y 2ax (a 2)，y|x x0 2ax0 (a 2).由2ax0（a2）2，ax20（a2）x012x01，解得x012，a8.答案 8 规律方法(1)求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【训练 2】(1)(角度 1)(2019天
14、津卷)曲线 ycos xx2在点(0，1)处的切线方程为_.(2)(角度 2)已知曲线 f(x)ax3ln x 在(1，f(1)处的切线的斜率为 2，则实数 a 的值是_.(3)(角度 3)若存在过点(1，0)的直线与曲线 yx3 和 yax2154 x9(a0)都相切，则 a 的值为()A.1 或2564B.1 或214C.74或2564D.74或 7解析(1)ysin x12，将 x0 代入，可得切线斜率为12.所以切线方程为 y112x，即 y12x1.(2)f(x)3ax21x，则 f(1)3a12，解得 a13.(3)由 yx3 得 y3x2，设曲线 yx3 上任意一点(x0，x30)处的切线方程为 yx303x20(xx0)，将(1，0)代入得 x00 或 x032.当 x00 时，切线方程为 y0，由y0，yax2154 x9得 ax2154 x90，15424a90 得 a2564.当 x032时，切线方程为 y274 x274，由y274 x274，yax2154 x9得 ax23x940，324a940 得 a1.综上知，a1 或 a2564.答案(1)y12x1(2)13(3)A