1、2021届高三侯.新.运三校联盟第三次联考暨上学期期末考试数学科试题一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ）A. 15种B. 90种C. 120种D. 180种4. 已知，为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B.
2、 若，则C. 若，则D. 若，则5. 函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 6. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（ ）A. 20天B. 30天C. 45天D. 60天7. 如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（ ）A. 1B. C. D. 8. 定义在上的偶函数在上单调递减，且满足，则不等式组
3、的解集为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.)9. 空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大.指数范围在：，分别对应“优”“良”“轻(中)度污染”“中度(重)污染”“重污染”五个等级.下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（ ）A. 这14天中有4天空气质量指数为“良”B. 这14天中空气质量指数的中位数是103C. 从2日到5日空气质量越来越差D. 连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11
4、日10. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数的最小正周期为，其图象的一条对称轴为，则（ ）A. B. 函数图象可由的图象向左平移个单位长度得到C. 函数在上的值域为D. 函数在区间上单调递减12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）A. 方程为B. 在上存在点，使得到点的距离为3C. 在上存在点，使得D. 在上存在点，使得三、填空题
5、：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 的展开式中项的系数为_14. 已知等差数列的前n项和为，公差，是与的等比中项，当时，n的最大值为_.15. 双曲线的左焦点为F，AB分别为C的左，右支上的点，O为坐标原点，若四边形为菱形，则C的离心率为_.16. 已知三棱锥外接球的表面积为，平面，则三棱锥体积的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，为边的中点，在下列条件中任选一个，求的长度.条件：的面积，且；条件：（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）18. 数列满足.（1）求数
6、列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于90分人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，.（1）
7、证明：；（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.21. 已知函数，（1）若最大值是0，求的值；（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围22. 已知左、右焦点分别为椭圆与直线相交于两点，使得四边形为面积等于的矩形.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.2021届高三侯.新.运三校联盟第三次联考暨上学期期末考试数学科试题 答案一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D2. 已知为虚数单位，
8、复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ）A. 15种B. 90种C. 120种D. 180种【答案】B4. 已知，为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C5. 函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A6. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得
9、了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（ ）A. 20天B. 30天C. 45天D. 60天【答案】D7. 如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C8. 定义在上的偶函数在上单调递减，且满足，则不等式组的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D二、多项选择题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，
10、选对但不全的得3分，有选错的得0分.)9. 空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大.指数范围在：，分别对应“优”“良”“轻(中)度污染”“中度(重)污染”“重污染”五个等级.下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（ ）A. 这14天中有4天空气质量指数为“良”B. 这14天中空气质量指数的中位数是103C. 从2日到5日空气质量越来越差D. 连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日【答案】ACD10. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC11. 已知函数的最小正周期为，其图象的一条对称轴为，则（ ）
11、A. B. 函数图象可由的图象向左平移个单位长度得到C. 函数在上的值域为D. 函数在区间上单调递减【答案】BC12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）A. 方程为B. 在上存在点，使得到点的距离为3C. 在上存在点，使得D. 在上存在点，使得【答案】ABD三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 的展开式中项的系数为_【答案】14. 已知等差数列的前n
12、项和为，公差，是与的等比中项，当时，n的最大值为_.【答案】20.15. 双曲线的左焦点为F，AB分别为C的左，右支上的点，O为坐标原点，若四边形为菱形，则C的离心率为_.【答案】.16. 已知三棱锥外接球的表面积为，平面，则三棱锥体积的最大值为_.【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，为边的中点，在下列条件中任选一个，求的长度.条件：的面积，且；条件：（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）【答案】（1）；（2）.18. 数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求
13、.【答案】（1）；（2）19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于90分人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，【答案】（1）114人；（2）分布列见解析，.20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，.（1）证明：；（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.21. 已知函数，（1）若最大值是0，求的值；（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围【答案】（1）1；（2）22. 已知左、右焦点分别为椭圆与直线相交于两点，使得四边形为面积等于的矩形.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.【答案】（1）（2）,