1、江苏省徐州市三校2019-2020学年高二数学下学期联考试题（含解析）一、单项选择题1.设复数满足（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出【详解】解：是虚数单位），故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数的运算法则计算即可.【详解】由导数的运算法则，知，故选：B.【点睛】本题考查导数的运算法则，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.已知i为虚数单位，若，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】
2、【分析】由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案【详解】，故.故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题.4.五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ）A. 54B. 5432C. 45D. 54【答案】C【解析】由乘法原理可得：不同的选择种数是 .5.函数在上的最大值与最小值之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性即可得到最值.【详解】由已知，令得，令得或，故在上单调递增，在上单调递减，所以，又，故，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用导数求函数
3、的最值，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种故选D.7.已知,为的导函数，则的图象是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得函数的导函数，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】依题意，令，则.由于，故排除C选项.由于，故在处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主
4、要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.8.已知函数有极值，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】有零点，且在零点两侧的符号相反【详解】，当时，恒成立，时，恒成立，当时，有解，且在解的两侧的符号相反，即有极值故选：A【点睛】本题考查用导数与函数的极值的关系，要注意，不能保证是极值点，实际上还要有在两侧的符号相反二、多项选择题9.若复数满足（其中是虚数单位），则（ ）A. 的实部是2B. 的虚部是C. D. 【答案】CD【解析】【分析】先由复数的除法运算可得，再结合复数的实部、虚部的概念及共轭复数及复数模的运算即可得解.【详解】解：，即的实部是1，虚
5、部是，故A错误，B错误，又，故C，D均正确.故选：CD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了共轭复数及复数模的运算，属基础题.10.如果对定义在上的奇函数，对任意两个不相等的实数，所有，则称函数为“函数”，下列函数为函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】由已知可知是奇函数，且在上是增函数，对选项逐一判断即可.【详解】由题意，是奇函数，故排除选项B，因为，所以，即在上是增函数，由于在R上不具单调性，故排除A；对于C，所以在上增函数，满足题意，对于D，易知在上单调递增，又是奇函数，故在上是增函数，满足题意.故选：CD【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的
6、奇偶性、单调性，是一道容易题.11.对于函数，下列说法正确的是（ ）A. 在处取得极大值B. 有两个不同的零点C. D. 若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A、C，只需研究的单调性即可；对于选项B，令解方程即可；对于选项D，采用分离常数，转化为函数的最值即可.【详解】由已知，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正确；又令得，即，当只有1个零点，B不正确；，所以，故C正确；若在上恒成立，即在上恒成立，设，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，
7、考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 函数存在两个不同的零点B. 函数既存在极大值又存在极小值C. 当时，方程有且只有两个实根D. 若时，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项.【详解】A.,解得，所以A正确；B.，当时，当时，或 是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确.C.当时，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.故选A,B
8、,C【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，所以图像是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.三、填空题13.已知复数，则_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算结合的周期性即可得到答案.【详解】由已知，所以.故答案：1【点睛】本题考查复数的基本计算，涉及到复数的除法运算、的周期性等知识，是一道容易题.14.已知函数，则的单调增区间为_.【答案】【解析】分析】求导，令，解不等式即可.【详解】由已知，令得，故的单调递增区间为.故答案为：【点睛】
9、本题考查利用导数求函数的单调区间，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知是定义在上的函数，且，对任意的都有，则的解集是_.【答案】【解析】【分析】令，易知在上单调递减，注意到，所以原不等式的解等价于，再利用单调性即可得到答案.【详解】令，则对任意恒成立，所以在上单调递减，注意到，所以，解得，所以的解集是.故答案为：【点睛】本题考查利用构造法解抽象函数不等式，涉及到利用导数研究函数的单调性，是一道中档题.16.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则与的关系为_（用表示），若函数在区间上是单调递增，则的最大值等于_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求导利用导数的几何意义可得
10、，即；函数在区间上是单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，只需解不等式即可.【详解】由已知，由导数几何意义知，即；若函数在区间上是单调递增，则在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，易知在上单调递增，所以，解得；故答案为： (1). (2). 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.四、解答题17.求下列函数导数.（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】利用导数的运算法则计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.【点睛】本题考查导数的运算法则，注意复合函数的导数方法：由外向内，层层求导，本题是一道基础题.18.
11、已知，复数.（1）若为纯虚数，求的值；（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用复数的除法得到，根据为纯虚数可得.（2）先求出，根据其对应的点在第二象限可得横坐标、纵坐标满足的不等式，从而得到的取值范围.【详解】解：（1）因为为纯虚数，所以，且，则（2）由（1）知， 则点位于第二象限，所以，得. 所以的取值范围是.【点睛】本题考查复数的除法、复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.19.已知名学生和名教师站在一排照相，求：（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？（3）两名教师不站在两端，且必须相
12、邻，有多少种排法？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有种方法，再从4名学生种选2名排两端，有种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有种方法，由乘法原理即可得到答案.【详解】（1）；（2）；（3）.【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排不相邻问题用插空法，解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类
13、”、“分步”的角度入手.20.如图，已知海岛到海岸公路的距离，间的距离为，从到必须先坐船到上的某一点，航速为，再乘汽车到，车速为，（1）设，试将由到所用的时间表示为的函数；记，试将由到所用的时间表示为的函数；（2）任意选取（1）中的一个函数，求登陆点选在何处，由到所用的时间最少？【答案】（1）；（2）处【解析】【分析】（1）根据题意建模即可得到，；（2）分别对中的函数求导，找到单调性即可得到答案.【详解】（1），则，则中，（2）选，得当时，时，在上单调递减，在上单调递增，所以时，取最小值选得当时，时，在上单调递减，在上单调递增，所以时，取最小值，此时答：选择距B处所用时间最少.【点睛】本题考查
14、导数在实际问题中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，是一道中档题.21.已知函数.（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；（2）当时，讨论函数的单调性.【答案】（1）最小值是，最大值是；（2）见解析【解析】【分析】（1）易得在递减，在递增，所以，再比较的大小可得最大值；（2），分，四种情况讨论即可.【详解】（1）时，令，解得：，令，解得：，在单调递减，在单调递增，的最小值是，而，因为故在的最大值是；（2），时，易知在上单调递增，在上单调递减；当时，若，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上所述，时，的单调增区间为
15、，单调减区间为；当时，单调增区间为，；单调减区间为；当时，单调增区间为，无单调减区间；当时，单调增区间为，；单调减区间为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，考查学生分类讨论的思想及数学运算能力，是一道中档题.22.已知函数，.（1）求证：函数的图象恒在函数图象的上方；（2）当时，令的两个零点，.求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造新函数，求导，求出新函数的最小值，并判断出最小值的正负性即可；（2）对函数进行求导，判断出函数的单调性，结合零点存在原理进行求解即可.【详解】（1）证明：构造函数. 则，令得 时，时在为减函数，在为增函数， 所以，即故函数的图象恒在函数图象的上方. （2）证明：由有两个零点，当时 则在为增函数，且，则当时，为减函数，当时，为增函数， 又， . 在和上各有一个零点， 故.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了已知函数的零点利用导数求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.