1、8.5直线、平面垂直的判定与性质考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用知识梳理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示
2、符号表示判定定理一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l知识拓展1三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直2三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若直线a平面，直线b平面，则直线
3、a直线b.()教材改编题1下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是相交、平行或在平面内，其他选项均是正确的2“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的_条件答案必要不充分3在三棱锥PABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_
4、心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，OAOBOC，即O为ABC的外心图1图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2021全国甲卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1
5、中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，BFA1B1.(1)求三棱锥FEBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE.(1)解如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EMAB，ABBC2，CF1，EMAB1，ABA1B1，由BFA1B1得EMBF，又EMCF，BFCFF，所以EM平面BCF，故V三棱锥FEBCV三棱锥EFBCBCCFEM211.(2)证明连接A1E，B1M，由(1)知EMA1B1，所以ED在平面EMB1A1内在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BFB1M，又BFA1B1，B1MA1
6、B1B1，所以BF平面EMB1A1，又DE平面EMB1A1，所以BFDE.教师备选如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC.证明：AEMN.证明AB平面PAD，AE平面PAD，AEAB，又ABCD，AECD.ADAP，E是PD的中点，AEPD.又CDPDD，CD，PD平面PCD，AE平面PCD.MNAB，ABCD，MNCD.又MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD，MN平面PCD，AEMN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(a
7、b，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质跟踪训练1(2019全国)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AE
8、AB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(12分)(2021全国乙卷)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM.(1)证明：平面PAM平面PBD; 切入点：线面垂直(2)若PDDC1，求四棱锥PABCD的体积.(1)问关键点：找平面PAM或平面PBD的垂线；(2)问关键点：底面矩形面积的计算教师备选(2020全国)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90.(1)证明：平
9、面PAB平面PAC；(2)设DO，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积(1)证明D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC，P在DO上，OAOBOC，PAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，PACPBC，APCBPC90，即PBPC，PAPC，PAPBP，PC平面PAB，PC平面PAC，平面PAB平面PAC.(2)解设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为rl，rl，OD2l2r22，解得r1，l，AC2rsin60，在等腰直角三角形APC中，APAC，在RtPAO中，PO，三棱锥PABC的体积为VPABCPOSABC3.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的
10、判定定理(2)面面垂直性质的应用面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E为AD的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又P
11、D平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.题型三垂直关系的综合应用例3在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形，且平面PAD平面ABCD，AD2AB2BC，BADABC90.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若PCD的面积为8，求四棱锥PABCD的体积解(1)存在，当M为AD的中点时，平面PCM平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由PAD是等边三角形，可得PMAD，由平面PAD平面ABCD，PM平面PAD，平面
12、PAD平面ABCDAD，可得PM平面ABCD，由PM平面PCM，可得平面PCM平面ABCD.(2)设ABa，可得BCa，AD2a，可得MCABMDa，则CDa，PD2a，PMa，由PMMC，可得PC2a，由SPCDaa28，可得a4，所以四棱锥PABCD的体积VS四边形ABCDPM(48)4432.教师备选如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，SAD为正三角形侧面SAD底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点(1)求证：AF平面SEC；(2)求证：平面ASB平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由
13、(1)证明如图，取SC的中点G，连接FG，EG，F，G分别是SB，SC的中点，FGBC，FGBC，四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，AEBC，AEBC，FGAE，FGAE，四边形AFGE是平行四边形，AFEG，又AF平面SEC，EG平面SEC，AF平面SEC.(2)证明SAD是等边三角形，E是AD的中点，SEAD，四边形ABCD是菱形，ABC60，ACD是等边三角形，又E是AD的中点，ADCE，又SECEE，SE，CE平面SEC，AD平面SEC，又EG平面SEC，ADEG，又四边形AFGE是平行四边形，四边形AFGE是矩形，AFFG，又SAAB，F是SB的中点，AFSB，又FGSBF，FG
14、平面SBC，SB平面SBC，AF平面SBC，又AF平面ASB，平面ASB平面CSB.(3)解存在点M满足题意假设在棱SB上存在点M，使得BD平面MAC，连接MO，BE，则BDOM，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，SAD为正三角形，BE，SE，BD2OB2，SD2，SEAD，侧面SAD底面ABCD，侧面SAD底面ABCDAD，SE平面SAD，SE平面ABCD，SEBE，SB，cosSBD，BM，.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证跟踪训练3如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F
15、为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？请说明理由(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PD，PQ，QE，则PQBC.因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.因为DEA1D，DEDC，A1DDCD，A1D，DC平面A1DC，所以DE平面A1DC，又A1C平面A1DC，所
16、以DEA1C.又因为P是等腰DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.因为DEDPD，DE，DP平面DEQP，所以A1C平面DEQP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.课时精练1(2022哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，是平面，m，n不在内，下列结论中错误的是()Am，n，则mnBm，n，则mnCm，mn，则nDmn，n，则m答案D解析对于A，n，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面与平面的交线l平行于n，m，l，ml，mn，故A正确；对于B，若m，n，由直线与平面垂直的性质，可得mn，故B正确；对于C，若m，mn，则n或n，又n，n，故C正确；对于
17、D，若mn，n，则m或m与相交或m，而m，则m或m与相交，故D错误2已知m，l是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列可以推出的是()Aml，m，lBml，l，mCml，m，lDl，ml，m答案D解析对于A，有可能出现，平行这种情况，故A错误；对于B，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，ml，m，l，故C错误；对于D，l，mlm，又由m，故D正确3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析由ACAB，ACBC1，ABBC1B，AB，BC1平面ABC1，得AC平面A
18、BC1.因为AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题中正确的是()AAC与B1C是相交直线且垂直BAC与A1D是异面直线且垂直CBD1与BC是相交直线且垂直DAC与BD1是异面直线且垂直答案D解析如图，连接AB1，则AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60，故A错误；因为A1DB1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60，故B错误；连接CD1，因为BC平面CDD1C1，所以BCCD1，所以BD1与BC所成角为D1BC，为锐角，故C错误；连接BD，因为ACBD，ACDD
19、1，且BDDD1D，BD，DD1平面BDD1，所以AC平面BDD1，则ACBD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC答案D解析因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE，且AE，PE平面PAE，所以BC平面PAE，因为DFBC，所以DF平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF平面PAE.因此选项B，C均正确6(2021新高考全国改编
20、)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足MNOP的是()ABCD答案C解析设正方体的棱长为2，对于，如图(1)所示，连接AC，则MNAC，图(1)故POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在RtOPC中，OC，CP1，故tanPOC，故MNOP不成立对于，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，图(2)则OP，PB，OB，所以OP2PB2OB2，所以OPPB，又PBMN，所以OPMN.对于，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CPBD，又OC平面ADEB，BD平面ADEB，图(3)所
21、以OCBD，又OCCPC，OC，CP平面OCP，所以BD平面OCP，所以BDOP，又BDMN，所以OPMN.对于，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，图(4)若OPMN，又OF平面MENA，所以OFMN，所以MN平面OFBP，所以MNBF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OPMN不成立7已知ABC在平面内，A90，DA平面，则直线CA与DB的位置关系是_答案垂直解析DA平面，CA平面，DACA，在ABC中，A90，ABCA，且DABAA，DA，BA平面DAB，CA平面DAB，又DB平面DAB，CADB.8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面
22、各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析PA底面ABCD，BDPA，连接AC(图略)，则BDAC，且PAACA，PA，AC平面PAC，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.9.如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平
23、面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧面PAD为等边三角形(1)求证：ADPB；(2)若平面PAD平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥PADE的体积(1)证明如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD，因为PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OPAD，因为底面ABC
24、D是菱形，BAD60，所以ABD是等边三角形，OBAD，因为OPOBO，OP，OB平面POB，所以AD平面POB，因为PB平面POB，所以ADPB.(2)解因为底面ABCD是边长为2的菱形，PAD为等边三角形，所以PAPDAD2，PO，底面ABCD的面积为2，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，POAD，所以PO平面ABCD，因为E为PB的中点，所以VPADEVBADEVPABDVPABCD2.11.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”在如图所示的四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PDCD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图
25、中的鳖臑有()A2个B3个C4个D5个答案C解析由题意，因为PD底面ABCD，所以PDDC，PDBC，又四边形ABCD为正方形，所以BCCD，因为PDCDD，所以BC平面PCD，BCPC，所以四面体PDBC是一个鳖臑，因为DE平面PCD，所以BCDE，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC，因为PCBCC，所以DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖臑12如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后
26、的点记为H.那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，AG，GH平面HAG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确13.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有
27、可能的情况)答案A1C1B1C1解析当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时，有AB1BC1.理由如下：AA1平面ABC，BCCC1，四边形BCC1B1是正方形，BC1B1C，CC1AA1，A1C1CC1.又A1C1B1C1，CC1B1C1C1，CC1，B1C1平面BCC1B1，A1C1平面BCC1B1，ACA1C1，AC平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，BC1AC，ACB1CC，AC，B1C平面ACB1，BC1平面ACB1，又AB1平面ACB1，AB1BC1.14(2022广州模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD
28、的中点，点R在线段SD上若AS4，AD2，ARPQ，则AR_.答案解析如图，取SA的中点E，连接PE，QE.SA平面ABCD，AB平面ABCD，SAAB，而ABAD，ADSAA，AD，SA平面SAD，AB平面SAD，故PE平面SAD，又AR平面SAD，PEAR.又ARPQ，PEPQP，PE，PQ平面PEQ，AR平面PEQ，EQ平面PEQ，AREQ，E，Q分别为SA，AD的中点，EQSD，则ARSD，在RtASD中，AS4，AD2，可求得SD2，由等面积法可得AR.15(2022玉溪模拟)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，PD底面ABCD，AD1，PDAB2，点E是PB的中点，过A，D，E三点
29、的平面与平面PBC的交线为l，则下列结论正确的有_(填序号)l平面PAD；AE平面PCD；直线PA与l所成角的余弦值为；平面截四棱锥PABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为.答案解析如图，取PC的中点F，连接EF，DF，则ADEF，即A，D，E，F四点共面，即l为EF，对于，EFAD，AD平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD，即l平面PAD，故正确；对于，由EFAD，若AE平面PCD，则必有AEDF，即四边形ADFE为平行四边形，则ADEF，矛盾，故错误；对于，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，由PD底面ABCD，所以PDAD，cosPAD，故正确；
30、对于，连接BD，VPABCDPDS矩形ABCD22，VABCDEFVABDEVDBCFE，故正确16如图(1)，在平面四边形ABDC中，ABCD90，ABBC2，CD1，将ABC沿BC边折起如图(2)，使_，点M，N分别为AC，AD的中点在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题AD，AC为四面体ABDC外接球的直径，平面ABC平面BCD.图(1)图(2)(1)判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；(2)求三棱锥AMNB的体积解(1)若选：AD，在RtBCD中，BC2，CD1，可得BD，又由AB2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD，因为ABBC，且BCBDB，BC，BD平面C
31、BD，所以AB平面CBD，又因为CD平面CBD，所以ABCD，又由CDBD，ABBDB，且AB，BD平面ABD，所以CD平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MNCD，所以MN平面ABD.若选：AC为四面体ABDC外接球的直径，则ADC90，CDAD，因为CDBD，ADBDD，AD，BD平面ABD，可证得CD平面ABD，又M，N分别为AC，AD的中点，所以MNCD，所以MN平面ABD.若选：平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，因为ABBC，且AB平面ABC，所以AB平面CBD，又CD平面CBD，所以ABCD，因为CDBD，ABBDB，且AB，BD平面ABD，所以CD平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MNCD，所以MN平面ABD.(2)由(1)知MN平面ABD，其中ABD为直角三角形，可得SANBSADB，MNCD，故三棱锥AMNB的体积为VAMNBVMABN.