1、第一章数列2等差数列2.2等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知数列an满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()A.11或12B.12C.13D.12或13答案D解析an=26-2n,an-an-1=-2,数列an为等差数列.又a1=24,d=-2,Sn=24n+n(n-1)2(-2)=-n2+25n=-n-2522+6254.nN+,当n=12或13时,Sn最大,故选D.2.等差数列an中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,那么此数列前20项的和为()A.160B.180C.200D.220答案B解
2、析由a1+a2+a3=3a2=-24,得a2=-8,由a18+a19+a20=3a19=78,得a19=26,于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10(-8+26)=180.3.数列an为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+,则的值是()A.-2B.-1C.0D.1答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn,=-1.4.在等差数列an中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 016,Sk=S2 008,则正整数k为()A.2 017B.2 018C.2 019D.2 020答案C解析由二次函数的对称性及S2011=S2016,Sk=S2008
3、,可得2011+20162=2008+k2,解得k=2019.故选C.5.若数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN+),则数列an的前n项和最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9答案B解析因为an+1-an=-3,所以数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有ak0,ak+10,所以22-3k0,22-3(k+1)0,即193k223.因为kN+,所以k=7.故满足条件的n的值为7.6.数列an的前n项和Sn=3n2-2n+1(nN+),则它的通项公式是.答案an=2,n=1,6n-5,n2,nN+解析当
4、n2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-5,当n=1时,a1=S1=312-21+1=2,不符合an=6n-5,an=2,n=1,6n-5,n2,nN+.7.设Sn为等差数列an的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为.答案4或5解析由a4=a1+3d=1,S5=5a1+542d=10,解得a1=4,d=-1,a5=a1+4d=0,S4=S5且同时最大.n=4或5.8.一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每秒比前一秒多降落9.80 m,那么落到地面所需要的时间秒数为.答案20解析设物体经过t
5、秒降落到地面,物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列,根据题意,则有前t秒降落的距离为4.90t+t(t-1)29.80=1960,解得t=20,所以落到地面所需要的时间秒数为20.9.设等差数列an满足a3=5,a10=-9.(1)求an的通项公式;(2)求an的前n项和公式Sn及使得Sn最大的自然数n的值.解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,得a1+2d=5,a1+9d=-9,解得a1=9,d=-2,所以数列an的通项公式为an=11-2n,nN+.(2)由(1)知,Sn=na1+n(n-1)2d=10n-n2.因为Sn=-(
6、n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.关键能力提升练10.已知等差数列an的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n等于()A.12B.14C.16D.18答案B解析因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn=n(a1+an)2=210,得n=14.11.已知等差数列an中,a1 009=4,S2 018=2 018,则S2 019等于()A.-2 019B.2 019C.-4 038D.4 038答案C解析因为an是等差数列,所以S2018=100
7、9(a1+a2018)=1009(a1009+a1010)=2018,则a1009+a1010=2.又a1009=4,所以a1010=-2,则S2019=2019(a1+a2019)2=2019a1010=-4038.12.已知an为项数为2n+1的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n+1nB.n+1nC.n-1nD.n+12n答案B解析S奇=(n+1)(a1+a2n+1)2,S偶=n(a2+a2n)2,a1+a2n+1=a2+a2n,S奇S偶=n+1n.13.设数列an为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意nN+,都有SnS
8、k成立,则k的值为()A.22B.21C.20D.19答案C解析对任意nN+,都有SnSk成立,即Sk为Sn的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,当Sn取得最大值时,满足an0,an+10,解得392n412,即满足对任意nN+,都有SnSk成立的k的值为20.14.(多选题)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S2 0180,S2 019|a1 010|C.a1 0100D.S2 018+S2 0190,S20190,2019(a1+a2019)2=2019a10100,a10100,
9、a1010|a1010|,故A,B都正确,C错误,由an=1009.8-n,此时满足条件,但是D选项不成立,故D错误.15.在等差数列an中,Sn是它的前n项和,若S10=8且S20=10,则S30的值为.答案6解析在等差数列an中,Sn是它的前n项和,S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,8,2,S30-10成等差数列,22=8+S30-10,S30=6.16.(2021浙江温州模拟)我国古代一部数学著作张丘建算经中有一题为:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月共织九匹三丈.”其白话意译为:“现有一善织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织了5尺布,
10、现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”每天增加的数量为尺.设该女子一个月中第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17=.答案162952解析依题意等差数列的前30项和为390,首项a1=5,设公差为d,所以S30=305+30292d=390,解得d=1629,所以a14+a15+a16+a17=4a1+58d=20+32=52.17.某电站沿一条公路竖立电线杆,相邻两根电线杆的距离都是50 m,最远一根电线杆距离电站1 550 m,一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m,共竖立多少根电线杆?第一根电线杆距离电站多少米?解由题意知
11、汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列,记为an,则an=15502=3100,d=5032=300,Sn=17500.由等差数列的通项公式及前n项和公式,得a1+(n-1)300=3100,na1+n(n-1)2300=17500.由得a1=3400-300n.代入得n(3400-300n)+150n(n-1)-17500=0,整理得3n2-65n+350=0,解得n=10或n=353(舍去),所以a1=3400-30010=400.故汽车拉了10趟,共拉电线杆310=30(根),最近的一趟往返行程400m,第一根电线杆距离电站12400-100=100(m).所以共竖立了30根电
12、线杆,第一根电线杆距离电站100m.学科素养创新练18.数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn=|a1|+|a2|+|an|,求Tn.解(1)an+2-2an+1+an=0,an+2-an+1=an+1-an,an是等差数列,又a1=8,a4=2,d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n,nN+.(2)设数列an的前n项和为Sn,则Sn=8n+n(n-1)2(-2)=9n-n2.an=10-2n,令an=0,得n=5.当n5时,an0;当n=5时,an=0;当n0.当n5时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5-(a6+a7+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=2(95-25)-9n+n2=n2-9n+40,当n5时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=9n-n2.Tn=9n-n2,n5,nN+,n2-9n+40,n6,nN+.
