1、37正弦定理与余弦定理一、选择题1在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC一定是()A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形 D等边三角形解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得2，整理得a2b2，ab，ABC一定是等腰三角形方法二：sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB，由已知得sinAcosBcosAsinB0，即sin(AB)0，又AB(，)，AB0，即AB.ABC为等腰三角形答案：B2满足A45，c，a2的ABC的个数记为m，则am的值为()A4 B2C1 D不确定解析：由正弦定理，得sinC.ca，CA45，C60或120，满足条件的三角形有2个
2、，即m2.am4.答案：A3在ABC中，若，则ABC是()A等腰三角形B等边三角形C顶角为120的等腰三角形D以上均不正确解析：由已知条件及正弦定理，得tanAtanBtanC，又0A，0B，0C，故ABC，所以ABC为等边三角形，故答案为B.答案：B4在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为()A.B.C.D.解析：由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosA，即7252AC210ACcos120，AC3.由正弦定理得.答案：D5若ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()A. B.C.或 D.或解析：，sinC.0C180，C60或120.当C60时，A90，BC2，
3、此时，SABC；当C120时，A30，SABC1sin30.答案：D6若ABC的周长等于20，面积是10，A60，则BC边的长是()A5 B6 C7D8解析：依题意及面积公式SbcsinA，得10bcsin60，得bc40.又周长为20，故abc20，bc20a，由余弦定理得：a2b2c22bccosAb2c22bccos60b2c2bc(bc)23bc，故a2(20a)2120，解得a7.故答案为C.答案：C二、填空题7在ABC中，a2c2b2ab，则角C_.解析：a2c2b2ab，cosC.又0C180，C60.答案：608在ABC中，BC2，B，若ABC的面积为，则tanC为_解析：由S
4、ABCBCBAsinB得BA1，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB，AC，ABC为直角三角形，其中A为直角，tanC.答案：9在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S(a2b2c2)，则C_.解析：由S(a2b2c2)得absinC2abcosC.tanC1.C.答案：三、解答题10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2b(bc)(1)求证：A2B；(2)若ab，判断ABC的形状解析：(1)证明：因为a2b(bc)，即a2b2bc，所以在ABC中，由余弦定理可得，cosB，所以sinAsin2B，故A2B.(2)因为ab，所以，由a2
5、b(bc)可得c2b，cosB所以B30，A2B60，C90.所以ABC为直角三角形11在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC3.(1)求cosC；(2)若，且ab9，求c.解析：(1)tanC3，3，又sin2Ccos2C1解得cosC.tanC0，C是锐角cosC.(2)，abcosC，ab20.又ab9，a22abb281.a2b241.c2a2b22abcosC36.c6.12在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinCcosC1sin.(1)求sinC的值；(2)若a2b24(ab)8，求边c的值解析：(1)由已知得sinCsin1cosC，sin2sin2.由sin0，得2cos12sin，sincos.两边平方，得1sinC，sinC.(2)由sincos0，得，即C，则由sinC得cosC.由a2b24(ab)8得(a2)2(b2)20，则a2，b2.由余弦定理得c2a2b22bccosC82，所以c1.