1、第八章立体几何第四讲直线、平面垂直的判定及性质1.2020昆明市高考模拟已知直线l平面,直线m平面,则“”是“lm”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.数学文化题九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图8-4-1所示的四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PD=CD,点E,F分别为PC,PD的中点,则图中的鳖臑有()A.2个B.3个C.4个D.5个图8-4-13.2021江苏省部分学校学情调研已知,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同直线,给出下面四个论断:mn;n;m.以其中的三个论断作为
2、条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.4.2021云南省部分学校统一检测如图8-4-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BB1C1C,E是CC1的中点,BC=1,BB1=2,AB=2,BCC1=60.(1)证明:B1EAE.(2)若A1BAB1=D,求三棱锥D-AA1E的体积.图8-4-25.2021安徽四校联考如图8-4-3(1),ABCD是正方形,点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B,C重合),E为线段BC的中点.现将正方形ABCD沿BC折起,使得平面ABCD平面BCP,如图8-4-3(2)所示.(1)(2)图8-4-3(1)证明:BP平面DCP.(2)若BC=2,
3、当三棱锥D-BPC的体积最大时,求E到平面BDP的距离.6.2020惠州市二调如图8-4-4,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,ABEF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直,已知AB=3,EF=1.(1)求证:平面DAF平面CBF.(2)设几何体F-ABCD,F-BCE的体积分别为V1,V2,求V1V2的值.图8-4-47.2021贵阳市四校第二次联考如图8-4-5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=4,PD=BD=3AD,且PD底面ABCD.(1)证明:BC平面PBD.(2)若Q为PC的中点,求三棱锥A-PBQ的体积.图8-4-58.已知平行四边形
4、ABCD中,AB=4,AD=22,BAD=45,点E在线段CD上,DE=EC,把BCE沿BE翻折,使点C到点P的位置,如图8-4-6.(1)当平面PBE平面ABCD时,求AP的长;(2)若PD=2,求三棱锥B-ADP的体积.图8-4-69.如图8-4-7,在四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD为矩形,SAD为等腰直角三角形,SA=SD=22,AB=2,F是BC的中点.(1)若在线段AD上存在点E,使得平面SEF平面ABCD,指出点E的位置并说明理由;(2)在(1)的条件下,若SFE=30,求点F到平面SAD的距离.图8-4-710.如图8-4-8,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC,
5、平面ACC1A1,平面BCC1B1两两垂直.(1)求证:CA,CB,CC1两两垂直.(2)若CA=CB=CC1=a,求三棱锥B1-A1BC的体积.图8-4-811.原创题如图8-4-9,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABBC,D为线段PB的中点,E为线段PC上的动点,且PA=AB=4,BC=3.(1)求证:平面ADE平面PBC.(2)当三棱锥P-ADE的体积为2时,求DE的长度.图8-4-9答 案第八章立体几何第四讲直线、平面垂直的判定及性质1.A因为l,所以l,又m,所以lm;但由l,lm,m不能得到.所以“”是“lm”的充分不必要条件.故选A.【解题关键】本题以空间位置关系为载体考
6、查充要条件,求解的关键是熟记空间中直线、平面平行与垂直的判定及性质,梳理各种证明方法,结合题设条件准确运用.题目没有给出图形时,要画出图形,借助图形的直观性进行判断.2.C因为PD底面ABCD,所以PDDC,PDBC,PDBD,又四边形ABCD为正方形,所以BCCD,所以BC平面PCD,所以BCPC,所以四面体PDBC是一个鳖臑.因为DE平面PCD,所以BCDE.因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC,又PCBC=C,所以DE平面PBC,所以DEBE,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑.同理可得,四面体PABD和FABD都是鳖臑.故选C.3.若mn,n
7、,m,则(或若,n,m,则mn)若mn,n成立,则m与可能平行也可能相交,即m不一定成立;若mn,m成立,则n与可能平行也可能相交,即n不一定成立;若mn,n,m成立,因为mn,n,所以m,又m,所以,即;若,n,m成立,因为,n,所以n,又m,所以mn,即.4.(1)如图D 8-4-4,连接BE.因为在BCE中,BC=1,CE=12CC1=12BB1=1,BCE=60,所以BCE是等边三角形,BE=1.因为在B1C1E中,B1C1=EC1=1,B1C1E=120,所以B1E=EC12+B1C12-2EC1B1C1cos120=3.图D 8-4-4在BB1E中,BE=1,B1E=3,BB1=2
8、,所以B1EBE.又AB平面BB1C1C且B1E平面BB1C1C,所以B1EAB.又ABBE=B,所以B1E平面ABE.因为AE平面ABE,所以B1EAE.(2)由A1BAB1=D知D为A1B,AB1的中点.由AB平面BB1C1C,可得ABBB1,所以AA1D的面积SAA1D=14ABBB1=1422=22.在平面BB1C1C内过点E作EHBB1于点H,又ABEH,ABBB1=B,所以EH平面ABB1A1.在RtBB1E中,由EHBB1=BEB1E,可得EH=32,即点E到平面AA1D的距离为32.所以三棱锥D-AA1E的体积VD-AA1E=VE-AA1D=13SAA1D32=612.5.(1
9、)因为平面ABCD平面BCP,ABCD是正方形,平面ABCD平面BCP=BC,所以DC平面BCP.因为BP平面BCP,所以BPDC.因为点P在以BC为直径的半圆弧上,所以BPPC.又DCPC=C,所以BP平面DCP.(2)当点P位于BC的中点时,BCP的面积最大,三棱锥D-BPC的体积也最大.如图D 8-4-5,连接PE,DE,因为BC=2,所以PE=1,所以BEP的面积为1211=12,所以三棱锥D-BEP的体积为13122=13.因为BP平面DCP,所以BPDP,DP=BD2-BP2=(22)2-(2)2=6,BDP的面积为1226=3.设E到平面BDP的距离为d,由133d=13,得d=
10、33,即E到平面BDP的距离为33.图D 8-4-56.(1)解法一平面ABCD平面ABEF,在矩形ABCD中,CBAB,平面ABCD平面ABEF=AB,CB平面ABCD,CB平面ABEF.AF平面ABEF,AFCB.又AB为圆O的直径,AFBF.CBBF=B,AF平面CBF.AF平面DAF,平面DAF平面CBF.解法二平面ABCD平面ABEF,在矩形ABCD中,DAAB,平面ABCD平面ABEF=AB,DA平面ABCD,DA平面ABEF.BF平面ABEF,DABF.又AB为圆O的直径,AFBF.DAAF=A,BF平面DAF.BF平面CBF,平面DAF平面CBF.(2)如图D 8-4-6,过点
11、F作FHAB,交AB于H.平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,且FH平面ABEF,FH平面ABCD.则V1=13(ABBC)FH,图D 8-4-6易知V2=13(EFHF2)BC,V1V2=2ABEF=6.7.(1)由题意得,AB=4,AD=2,BD=3AD=23,所以AD2+BD2=AB2,所以ADBD,因为四边形ABCD为平行四边形,所以ADBC,所以BCBD,又PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC,因为PDBD=D,所以BC平面PBD.(2)如图D 8-4-7,连接AC,因为Q为PC的中点,所以SPBQ=SQBC,所以V三棱锥A-PBQ=V三棱锥A-QB
12、C,因为四边形ABCD为平行四边形,所以V三棱锥A-QBC=V三棱锥Q-ABC=12V四棱锥Q-ABCD.过点Q作QEDC交DC于点E,因为PD平面ABCD,CD平面ABCD,所以PDDC,所以PDQE,所以QE平面ABCD,又Q为PC的中点,所以QE为CDP的中位线,所以QE=12PD,所以V四棱锥Q-ABCD=12V四棱锥P-ABCD.由已知可得PD=23,所以V三棱锥A-PBQ=V三棱锥A-QBC=V三棱锥Q-ABC=12V四棱锥Q-ABCD=14V四棱锥P-ABCD=141322323=2,故三棱锥A-PBQ的体积为2.图D 8-4-78.(1)翻折前,根据CD=AB=4,DE=EC,
13、得CE=2,在BCE中,BC=22,BCE=BAD=45,由余弦定理,得BE=2,所以BC2=BE2+CE2,于是BECE.翻折后,有PEBE.因为平面PBE平面ABCD,且平面PBE平面ABCD=BE,PE平面PBE,所以PE平面ABCD.连接AE,因为AE平面ABCD,所以PEAE,而AE2=AB2+BE2=16+4=20,PE=2,所以PA=PE2+AE2=4+20=26.(2)如图D 8-4-8,因为BEPE,BEDE,PEDE=E,所以BE平面PDE,又BE平面ABED,所以平面PDE平面ABED.图D 8-4-8由于PD=2,DE=PE=2,所以PDE为正三角形,取DE的中点O,连
14、接PO,则PODE,所以PO平面ABED,且PO=3,所以三棱锥B-ADP的体积VB-ADP=VP-ADB=13SADBPO=1312423=433.9.(1)点E为AD的中点.理由如下:因为四边形ABCD是矩形,所以ABAD.又E,F分别是AD,BC的中点,所以EFAB,所以ADEF.又SAD为等腰直角三角形,SA=SD,所以SEAD.因为SEEF=E,所以AD平面SEF.又AD平面ABCD,所以平面SEF平面ABCD.图D 8-4-9(2)如图D 8-4-9,过点S作SOFE,交FE的延长线于点O.由(1)知平面SEF平面ABCD,平面SEF平面ABCD=EF,所以SO平面ABCD.因为S
15、AD为等腰直角三角形,SA=SD=22,所以AD=4,SE=2,又EF=AB=2,所以SEF为等腰三角形.因为SFE=30,故SEF=120,SEO=60,故OE=1,SO=3.连接AF,DF,设F到平面SAD的距离为d,由VF-SAD=VS-FAD可得13SSADd=13SOSFAD.易知SSAD=122222=4,SFAD=1224=4,所以d=SO=3.10.(1)在ABC内取一点P,作PDAC,PEBC,因为平面ABC平面ACC1A1,平面ABC平面ACC1A1=AC,所以PD平面ACC1A1,所以PDCC1.同理PECC1,又PDPE=P,所以CC1平面ABC,所以CC1AC,CC1
16、BC,用证CC1AC的方法,可证ACBC,故CA,CB,CC1两两垂直.(2)V三棱锥B1-A1BC=V三棱锥A1-BCB1,由(1)可知,三棱锥A1-BCB1的高为A1C1=a,又SBCB1=12BCBB1=12a2,所以三棱锥B1-A1BC的体积为16a3.11.(1)PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.又ABBC,PAAB=A,BC平面PAB.AD平面PAB,ADBC.PA=AB,D为线段PB的中点,ADPB.又BCPB=B,AD平面PBC.AD平面ADE,平面ADE平面PBC.(2)易知SPAD=12SPAB=121244=4.记点E到平面PAB的距离为h,则V三棱锥P-ADE=V三棱锥E-PAD=13SPADh=43h,由43h=2,得h=32.由(1)可知BC平面PAB.BC平面PBC,平面PBC平面PAB.过点E向PB作垂线,垂足为F,则EF平面PAB,且EFBC.EF=h=32,BC=3,EF为PBC的中位线,即点F与点D重合.故DE=32.【素养落地】本题以三棱锥为载体,让考生在运用与线面、面面垂直有关的定理的过程中,提升直观想象和逻辑推理等核心素养.