1、第八章立体几何第三讲直线、平面平行的判定及性质1.2021黑龙江省六校阶段联考对于不重合的两个平面与,给定下列条件:存在平面,使得,都平行于;存在平面,使得,都垂直于;内有不共线的三点到的距离相等;存在异面直线l,m,使得l,l,m,m.其中,可以判定与平行的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.2020长春市质量监测已知a,b,c为三条不同的直线,为三个不同的平面,则下列说法正确的是()a,b,则ab;,则;a,b,则ab;,则.A.B.C.D.3.2020广州模拟如图8-3-1,在三棱锥A-BCD中,AB=CD=a,M,N,P,Q分别在棱AC,BC,BD,AD(不包含端点)上,AB
2、,CD均平行于平面MNPQ,则四边形MNPQ的周长是()A.4aB.2aC.3a2D.周长与截面的位置有关图8-3-14.2020沈阳市模拟下列三个命题在“()”处都缺少同一个条件,补上这个条件可使这三个命题均为真命题(其中l,m为两条不同的直线,为两个不同的平面),则此条件是.lmm()l;mlm()l;lmm()l.5.2021晋南高中联考如图8-3-2所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,BCAD,ABAD,AB=BC=12AD,PA底面ABCD,过BC的平面交PD于M,交PA于N(M与D不重合).(1)求证:MNBC.(2)若BMAC,求VP-BCMNVP-ABCD的值.图
3、8-3-26.2020江西红色七校联考如图8-3-3,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,E,F分别为AB,B1C1的中点.(1)求证:B1E平面ACF.(2)求三棱锥B1-ACF的体积.图8-3-37.2020成都市高三模拟如图8-3-4,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PAPD,ADCD,BAD=60,M,N分别为AD,PA的中点.(1)证明:平面BMN平面PCD.(2)若AD=6,求三棱锥P-BMN的体积.图8-3-48.新角度题如图8-3-5,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,ADC=120,SAD是等边三角
4、形,平面SAD平面ABCD,E,F分别是SC,AB上的一点.(1)若E,F分别是SC,AB的中点,求证:BE平面SFD.(2)当SEEC为多少时,三棱锥S-BDE的体积为16?图8-3-59.如图8-3-6(1),在四边形MABC中,ABC是等腰直角三角形,ACB=90,MAC是边长为2的正三角形.以AC 为折痕,将MAC向上折叠到DAC的位置,使D点在平面ABC内的射影在AB上,再将MAC向下折叠到EAC的位置,使平面EAC平面ABC,形成几何体DABCE,如图8-3-6(2)所示.已知点F在BC上.(1)若DF平面EAC,求点F的位置;(2)过DF且与平面EAC平行的平面将几何体DABCE
5、分为两部分,求这两部分几何体的体积之差(较大体积减去较小体积).图8-3-610.如图8-3-7,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,ADDD1,点M,N分别为棱DD1,BC的中点.(1)求证:MC平面AD1N.(2)若ACBD1,且BD1=213,求三角形MDN绕直线MN旋转一周所形成的旋转体的表面积.图8-3-7答 案第八章立体几何第三讲直线、平面平行的判定及性质1.B对于,若,则由面面平行的性质可得,故可以判定与平行;对于,若存在平面,使得,都垂直于,则,不一定平行,如正方体相邻的三个面,故不可以判定与平行;对于,当,是两个相交平面时,如果平
6、面内不共线的三点在平面的异侧时,此三点可以到平面的距离相等,故不可以判定与平行;对于,在平面内作ll,mm,因为l,m是两条异面直线,所以必有l,m相交,又l,m,所以l,m,由面面平行的判定定理知,故可以判定与平行.故选B.2.D中,由a,b,利用线面垂直的性质定理可推出ab,故正确;中,由,得与平行或相交,故不正确;中,由a,b,得a与b平行或相交或异面,故不正确;中,由,利用面面平行的传递性可推出,故正确.综上所述,的说法正确,故选D.3.B设AMCM=k.因为AB平面MNPQ,平面ABC平面MNPQ=MN,AB平面ABC,所以MNAB,同理可得PQAB,MQCD,NPCD,故四边形MN
7、PQ为平行四边形,所以MNAB=PQAB=11+k,MQCD=NPCD=k1+k.因为AB=CD=a,所以MN=PQ=a1+k,MQ=NP=ak1+k,所以四边形MNPQ的周长为MN+PQ+MQ+NP=2(a1+k+ak1+k)=2a.故选B.4.l体现的是线面平行的判定定理,缺少的条件是“l为平面外的一条直线”,即“l”,“l”也适用于和,故此条件是l.5.(1)在梯形ABCD中,BCAD,BC平面PAD,AD平面PAD,所以BC平面PAD.又BC平面BCMN,平面BCMN平面PAD=MN,所以MNBC.(2)过M作MKPA交AD于K,连接BK.因为PA底面ABCD,所以MK底面ABCD,所
8、以MKAC.又BMAC,BMMK=M,所以AC平面BMK,所以ACBK.所以在平面ABCD中,可得四边形BCDK是平行四边形.所以BC=DK=AK,所以K是AD的中点,所以M是PD的中点,所以N是PA的中点.设AB=BC=12AD=x,连接CN,则VP-BCMNVP-ABCD=2VP-BCNVP-ABCD=2VC-BPNVP-ABCD=VC-ABPVP-ABCD=VP-ABCVP-ABCD=SABCS梯形ABCD=x23xx=13.6.(1)取AC的中点M,连接EM,FM.在ABC中,因为E,M分别为AB,AC的中点,所以EMBC且EM=12BC.又F为B1C1的中点,B1C1BC且B1C1=
9、BC,所以B1FBC且B1F=12BC,即EMB1F且EM=B1F.故四边形EMFB1为平行四边形,所以B1EFM.又FM平面ACF,B1E平面ACF,所以B1E平面ACF.(2)设O为BC的中点,连接AO,因为三棱柱底面是正三角形,所以AO=3,且易知AO丄平面BCC1B1.于是V三棱锥B1-ACF=V三棱锥A-B1CF=13SB1CFAO=1312123=33.7.(1)连接BD,如图D 8-3-2.AB=AD,BAD=60,ABD为正三角形.M为AD的中点,BMAD.图D 8-3-2又ADCD,CD平面ABCD,BM平面ABCD,BMCD.又BM平面PCD,CD平面PCD,BM平面PCD
10、.M,N分别是AD,PA的中点,MNPD.又MN平面PCD,PD平面PCD,MN平面PCD.又BM平面BMN,MN平面BMN,且BMMN=M,平面BMN平面PCD.(2)由(1)知BMAD.平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BM平面ABCD,BM平面PAD.又AD=6,BAD=60,BM=33.M,N分别是AD,PA的中点,PA=PD=22AD=32,PMN的面积SPMN=14SPAD=1412(32)2=94.三棱锥P-BMN的体积V三棱锥P-BMN=V三棱锥B-PMN=13SPMNBM=13943 3=934.8.(1)如图D 8-3-3,取SD的中点G,连接FG,GE
11、.因为E,F,G分别是SC,AB,SD的中点,所以EGCD且EG=12CD,BF=12AB.又四边形ABCD是菱形,所以ABCD且AB=CD,所以EGBF且EG=BF, 所以四边形FBEG为平行四边形,所以BEFG.图D 8-3-3又BE平面SFD,FG平面SFD,所以BE平面SFD.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,ADC=120,所以SBCD=1223=3.因为SAD是等边三角形,所以在SAD中,AD边上的高为3.又平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,所以SAD的高即三棱锥S-BCD的高,所以V三棱锥S-BCD=1333=1.又V三棱锥S-BDE=16,所以V三棱
12、锥S-BDEV三棱锥S-BCD=SSDESSDC=SESC=16.所以当SEEC=15时,三棱锥S-BDE的体积为16.【素养落地】本题考查了线面位置关系的证明和线段比的探究,要求考生能熟练掌握并灵活应用有关的性质、定理,考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.9.(1)F为BC的中点.理由如下:如图D 8-3-4,设点D在平面ABC内的射影为O,连接OC,AD=CD,OA=OC,在RtABC中,O为AB的中点.取BC的中点F,连接OF,DF,则OFAC,又OF平面EAC,AC平面EAC,OF平面EAC.取AC的中点H,连接EH,则EHAC,又平面EAC平面ABC,平面EAC平面ABC=
13、AC,EH平面ABC,又DO平面ABC,DOEH,DO平面EAC.又DOOF=O,平面DOF平面EAC.又DF平面DOF,DF平面EAC.(2)由(1)知OFAC,则OFBC,又O为AB的中点,则DA=DB=DC,因而DFBC.又OFDF=F,故BC平面DOF.图D 8-3-4如图D 8-3-4,取BE的中点N,连接FN,ON,则FNEC,ONAE.又AD=2,AO=DO=2,OF=12AC=1,ON=12AE=1,FN=12CE=1,S四边形DFNO=1212+12132=22+34,则四棱锥B-DFNO的体积为13S四边形DFNO1=22+312,几何体DABCE的体积为13SABC(2+
14、3)=22+233,两部分几何体的体积之差为22+233-222+312=22+336.10.(1)如图D 8-3-5,取AD1的中点E,连接EM,EN,图D 8-3-5因为M为棱DD1的中点,所以MEAD且ME=12AD,又四边形ABCD是菱形,N为棱BC的中点,所以CNAD且CN=12AD,所以MECN且ME=CN,所以四边形EMCN为平行四边形,所以CMNE,又CM平面AD1N,NE平面AD1N,所以CM平面AD1N.(2)连接BD,因为底面ABCD是边长为2的菱形,所以ACBD,又ACBD1,BDBD1=B,所以AC平面DBD1,所以ACDD1.又ADDD1,ACAD=A,所以DD1平面ABCD.因为BD=2,BD1=213,所以DD1=43,MD=23,易知DN=3,则MN=15,三角形MDN斜边上的高为32315=2155.易知三角形MDN绕着直线MN旋转一周所形成的旋转体是两个圆锥的组合体,其表面积为21553+215523=1855.