1、2020-2021学年第一学期阶段测试卷高三数学注意事项：1本试卷共150分，考试时间120分钟2请将各题答案填在答题卡上第I卷（选择题 共60分）一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的交集和补集运算求解即可.【详解】或故故选：A2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的概念、单调性的概念及判断方法进行判断即可.【详解】对于A选项，为奇函数，且在定义
2、域内递增；对于B选项，为偶函数，不符合题意；对于C选项，是奇函数，在和上都递增，不符合题意；对于D选项，为偶函数，不合符题意.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性判断及单调性的判断问题，属于基础题，根据奇偶性及单调性的相关概念及判断方法判断即可.3. 已知中，则与的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，结合平面向量数量积的运算可求得的值，求出，进而可得出、的夹角.【详解】，所以，则，因此，与的夹角是.故选：D.4. 若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据幂函数图象过的点可以求出幂函数的解析式，然后运用换元法
3、，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】设幂函数，图象过点，所以， ，故，令，则，时，故选：C【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，该题解题思路如下：（1）利用幂函数所过的点的坐标，确定出幂函数的解析式；（2）求得的解析式；（3）利用换元法和配方法求得函数的大值.5. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，排除两个选项，再计算特殊的函数值又排除一个，剩下的是正确选项【详解】的定义域是，所以为奇函数，图像关于原点对称，排除BD，因为，所以排除A，故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象
4、的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6. 已知是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数在上单调递增，再由函数奇偶性，得到在上单调递增；将不等式化为求解，即可得出结果.【详解】因为当时，根据指数函数性质，可得是增函数，所以在上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，因此在上单调递增；所以由，得解得.故选：C7. 已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为（ ）A. B. C. D.
5、【答案】B【解析】【分析】利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将f（x）进行化简，结合正弦函数图像的性质求解即可.【详解】，的最小正周期，由，解得，得单调减区间为，当时，得的一个单调减区间，故选：B【点睛】思路点睛：该题考查正余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，解题思路如下：（1）首先利用正、余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式；（2）利用正弦函数的性质，求得其最小正周期和单调区间.8. 在中，角的对边分别为，且，则的形状为（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
6、【详解】由已知可得，即法一：由余弦定理得，则，所以，由此知为直角三角形法二：由正弦定理得：在中，从而有，即在中，所以由此得，故为直角三角形.故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角形形状判断的问题，在解题的过程中，可以利用勾股定理，也可以在三角形中利用三角恒等变换得到结果.二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知集合，下列从到的各对应关系是函数的是（ ）A. B. C D. 【答案】BC【解析】【分析】根据函数的定义判断【详解】在对应关系中，四个对应关系都保证对中任意的都有唯一
7、的值与之对应，题中要求函数值的集合叫函数的值域，值域是的子集只有选项中值域范围不超过的取值范围故选：BC10. 下列有关向量命题，不正确的是（ ）A. 若，则B. 已知，且，则C. 若，则D. 若，则且【答案】AB【解析】【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对故选：AB11. 下列命题中，正确的是（ ）A. 在中，B. 在锐角中，不等式恒成立C. 在中，若，则必是等腰直角三角形D. 在中，若，则必是等边三角形【答案】ABD【解析】【分析】对于选项在中，由正弦
8、定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.1
9、2. 将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，下列四个结论不正确的是（ ）A. 函数在区间上为增函数B. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C. 点是函数图象的一个对称中心D. 函数在上的最大值为4【答案】BCD【解析】【分析】先根据三角函数图象变换写出的解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项【详解】函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得，A若，则，所以根据复合函数单调性可知函数在上为单调递增函数，B将的图像向右平移个单位得到所以得到函数不关于原点对称，所以不正确C因为，所以点不是
10、函数的一个对称中心，所以不正确D若，则，所以当时，取得最大值，且最大值，所以不正确故选：BCD第II卷（非选择题 共90分）三填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 函数的单调增区间是_【答案】【解析】【分析】先求解出函数的定义域，然后根据复合函数单调性的判断法则得出单调递增区间.【详解】由得：或，则函数的定义域为令函数，则函数在单调递减，在区间单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递减区间为单调递增区间为.故答案为：【点睛】本题考查符合函数的单调区间判断，解答时注意口诀：“同增异减”的运用，但特别要注意原函数的定义域.14. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】使对数
11、的真数大于零，二次根式的被开方数大于等于零即可.【详解】，解得由题意得：，解得或.故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域的求解问题，较简单，一般地，求解函数定义域时，注意以下几点：（1）有分式时，分母不等于零；（2）含偶次方根时，被开方数非负；（3）有对数时，真数大于零.15. 已知向量与的夹角为60且，若，且，则实数的值是_【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的条件，向量数量积等于零，利用向量数量积运算公式，得到关于的等量关系式，求得结果.【详解】，即，所以，解得故答案为：.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量
12、积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_【答案】【解析】分析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.【详解】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，则有，从而，所以切线方程，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题四解答题：本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分17. 已知函数（1）求的值；（2）求的最大值和最小值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由特殊值的三角函数计算；（2）令
13、，把函数化为关于的二次函数，由二次函数的性质求得最值【详解】（1）（2）令，【点睛】方法点睛：本题考查求三角函数的最值求三角函数最值的常用方法：（1）利用三角函数的恒等变化化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数求解；（2）换元法，设，转化为二次函数，题中含有时，可设换元后转化为二次函数，收二次函数性质求解18. 的三个内角所对的边分别为（1）求；（2）若，求【答案】（1） ；（2）45.【解析】【分析】（1）已知等式中移到左边，与结合，然后边化角化简后，再角化边得；（2）已知条件结合余弦定理化简，再把（1）的结论代入已知得的关系，从而求得，得角，【详解】解：（1）由已知，由正弦定理知
14、：，（2）由余弦定理：，又由（1）知，故【点睛】方法点睛：本题考查正弦定理和余弦定理的应用已知等式中出现边角混合关系时，常常需要用正弦定理进行边角互化，如果出现边的平方等关系可用余弦定理求角，19. 已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题中条件，求出，再由两角差的余弦公式，求出，根据二倍角公式，即可求出结果；（2）由（1）求出，再由两角差的正切公式，即可求出结果.【详解】（1），为锐角，且，则，；（2）由（1），所以，则，又，；.20. 已知在中，角对边分别为，外接圆半径为2，若，（1）求角的大小；（2）若成等差数列，且，求的长【答案】（1）
15、；（2）.【解析】【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算公式写出的式子，然后根据正弦定理、余弦定理，将原式化简，再运用和差角公式合并，从而得出角的大小；（2）利用成等差数列可得出的关系，根据可解出的值，再结合余弦定理则可解得的值.【详解】解：（1）因为，所以，又外接圆半径为2，所以所以则，又，所以（2）若成等差数列，则，即，又，得，由余弦定理得：，得.【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，考查解三角形与平面向量的结合问题，难度一般. 解答时注意以下几点：（1）平面向量数量积的坐标运算公式的运用，三角恒等变换公式的运用；（2）利用正弦定理、余弦定理进行边角转化.21. 已知函数（1）求函数
16、在上的单调递减区间；（2）在锐角中，内角所对的边分别为，已知，求的周长【答案】（1）单调递减区间和；（2）6.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式化函数形式，然后结合余弦函数的单调性求解（2）利用（1）求得角，再由正弦定理化角为边求得，然后由余弦定理可求得，从而得三角形周长【详解】解：（1），函数单调递减，则，在上的单调递减区间和（2）由（1）知：且为锐角三角形，的周长为【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，考查三角函数恒等变换，解决此类问题的方法一般是由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数（或余弦函数）性
17、质确定的各种性质在三角形中注意正弦定理的边角互化，正弦定理与余弦定理解三角形的灵活应用22. 设函数.（1）求函数的单调区间及极值；（2）若函数在上有唯一零点，证明：.【答案】（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，利用导数求出函数的单调区间，并由单调性得出函数的极值；（2）利用参变量分离法得出关于的方程在上有唯一解，构造函数，得出，构造函数，求出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数的最小值转化即可【详解】（1）的定义域为，当时，为减函数；当时，为增函数，有极小值，无极大值，故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，有唯一解，令，则令，则，当时，故函数为增函数，又，在上存在唯一零点，则，且，当时，当时，在上有最小值.ly，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、以及利用导数研究函数的零点问题，构造新函数是难点，也是解题的关键，考查转化与化归数学思想，属于难题.
