1、新20版练B1数学人教A版5.6函数y=Asin(x+)第五章 三角函数5.6 函数y=Asin(x+)第1课时 函数y=Asin(x+)的图像及变换考点1平移变换问题1.(2018广西贺州高二期末)为了得到函数y=sinx-3的图像,只需把函数y=sin x的图像()。A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向上平移3个单位长度D.向下平移3个单位长度答案：B解析：将函数y=sin x的图像向右平移3个单位长度,所得图像对应的函数解析式为y=sinx-3。2.设函数f(x)=cos x(0),将y=f(x)的图像向右平移3个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于()。
2、A.13B.3C.6D.9答案：C解析：将y=f(x)的图像向右平移3个单位长度后得到y=cosx-3,所得图像与原图像重合,所以cosx-3=cos x,则-3=2k(kZ),得=-6k(kZ)。又因为0,所以的最小值为6,故选C。3.把函数f(x)=sin2x-3的图像向左平移(00,故将函数y=sin2x-4图像上所有点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的3倍,即可得到函数y=3sin2x-4的图像。考点3综合变换问题8.把函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图像是()。图5-6-1-1答案
3、：A解析：由题意,y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的解析式为y=cos x+1;再向左平移1个单位长度,所得图像的解析式为y=cos(x+1)+1;最后向下平移1个单位长度,所得图像的解析式为y=cos(x+1),显然点2-1,0在此函数图像上。故选A。9.把函数y=cos x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标伸长到原来的2倍,最后把图像向左平移4个单位长度,则所得图像表示的函数的解析式为()。A.y=2sin 2xB.y=-2sin 2xC.y=2cos2x+4D.y=2cosx2+4答案：B解析：把函数y=cos x的图像上所有
4、点的横坐标缩短到原来的12,所得图像的函数解析式为y=cos 2x,再把纵坐标伸长到原来的2倍,所得图像的函数解析式为y=2cos 2x,最后把图像向左平移4个单位长度,所得图像的函数解析式为y=2cos2x+4=-2sin 2x。故选B。10.(2018广东广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学高二期中)如图5-6-1-2是函数y=Asin(x+)(xR)在区间-6,56上的图像。为了得到这个函数的图像,只要将y=sin x(xR)的图像上所有的点()。图5-6-1-2A.向左平移3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变 B.向左平移3个单位长度,再把所得各点的横坐
5、标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变D.向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变答案：A解析：由图像可知A=1,T=56-6=,=2T=2。图像过点3,0,sin23+=0,23+=+2k,kZ,=3+2k,kZ。y=sin2x+3+2k=sin2x+3。故将函数y=sin x的图像上所有的点先向左平移3个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,可得原函数的图像。11.(2018河南商丘九校高二期末联考)将函数f(x)=sin(x+)0,-22图像上每一点的横坐标缩短为原来的
6、一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到y=sin x的图像,则f6=。答案：22解析：将y=sin x的图像向左平移6个单位长度可得y=sinx+6的图像,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍可得y=sin12x+6的图像,故f(x)=sin12x+6,所以f6=sin126+6=sin 4=22。12.给出下列六种图像变换的方法:图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的12;图像上所有的点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;图像向右平移3个单位长度;图像向左平移3个单位长度;图像向右平移23个单位长度;图像向左平移23个单位长度。请用上述变换中的两种变换,将函数y=sin x的图
7、像变换为函数y=sinx2+3的图像,那么这两种变换正确的标号是。(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)答案：或解析：y=sin x的图像y=sinx+3的图像y=sin12x+3的图像,或y=sin x的图像y=sin x2的图像y=sin12x+23=sinx2+3的图像。考点4利用图像确定函数解析式问题13.已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,02的部分图像如图5-6-1-3所示,则f(x)的解析式是()。图5-6-1-3A.f(x)=2sin2x+3B.f(x)=2sinx+3C.f(x)=2sin2x+6D.f(x)=2sinx+6答案：B解析：由图像可知T4=76-
8、23=2,所以T=2,=2T=1。又因为sin23+=0,且00,0,-22,xR的部分图像如图5-6-1-4所示,则A+=。图5-6-1-4答案：3+6解析：由图可知A=2,T4=56-3=2,所以T=2,所以=1。再根据f3=2得sin3+=1,所以3+=2+2k(kZ),即=6+2k(kZ)。又因为-20,0,|2的部分图像如图5-6-1-6所示,则f(x)=。图5-6-1-6答案：3sinx2+6解析：由图易知A=3,T2=83-23=2,T=4,=2T=12,f(x)=3sinx2+。将23,3代入,得sin3+=1。|0)的最小正周期为,则该函数图像()。A.关于点3,0对称B.关
9、于直线x=4对称C.关于点4,0对称D.关于直线x=3对称答案：A解析：由T=2=,解得=2,则f(x)=sin2x+3。该函数图像关于点3,0对称。6.(2018北京海淀北理工附中高二期中)将函数y=sin2x+4的图像向右平移8个单位长度,所得图像所对应的函数是()。A.非奇非偶函数B.既奇又偶函数C.奇函数D.偶函数答案：C解析：将函数y=sin2x+4的图像向右平移8个单位长度后,得函数y=sin2x-8+4=sin 2x,为奇函数,故选C。7.(2019黑龙江宝清高级中学高三期中)若函数f(x)=2sin(x+)对任意x都有f3+x=f(-x),则f6=()。A.2或0B.0C.-2
10、或0D.-2或2答案：D解析：由f3+x=f(-x)得直线x=3+02=6是f(x)图像的一条对称轴,所以f6=2,故选D。8.(2019辽宁庄河高中高二月考)函数f(x)=cos2x+6的图像的一条对称轴方程为()。A.x=6B.x=512C.x=23D.x=-23答案：B解析：令2x+6=k(kZ),则x=k2-12,kZ,当k=1时,x=512,故选B。9.(2019福建南安侨光中学高二月考)函数y=sin(2x+)的图像沿x轴向左平移8个单位长度后,得到一个偶函数的图像,则的一个可能的值为()。A.-4B.0C.4D.34答案：C解析：平移后的图像对应的函数为y=sin2x+8+=si
11、n2x+4+,因为此函数为偶函数,所以4+=2+k(kZ),所以的一个可能值为4。考点3函数y=Asin(x+)的图像与性质的综合问题10.已知函数f(x)=Acos(x+)(A0,0)的部分图像如图5-6-2-1所示,f2=-23,则f(0)=()。图5-6-2-1A.-23B.23C.-12D.12答案：B解析：由图像可知所求函数的周期为T=21112-712=23,故=223=3。将1112,0代入解析式,得Acos31112+=0,即cos114+=0,114+=2+2k,kZ,=-94+2k,kZ。令=-4,代入解析式得f(x)=Acos3x-4。又f2=-23,f2=-Asin 4
12、=-22A=-23,A=232。f(0)=232cos-4=232cos 4=23。11.(2018广东广州第二中学高二期中)将函数f(x)=sin x(其中0)的图像向右平移4个单位长度,所得图像经过点34,0,则的最小值是()。A.13B.1C.53D.2答案：D解析：函数f(x)=sin x(其中0)的图像向右平移4个单位长度得到函数g(x)=sinx-4(其中0)的图像,将34,0代入得0=sin 2,故的最小值是2。12.(2019安徽合肥一中高一月考)已知函数f(x)=sin x和函数g(x)=cos x在区间-1,2上的图像交于A,B,C三点,则ABC的面积是()。A.22B.3
13、24C.2D.524答案：C解析：由题意得sin x=cos x,所以tan x=1,所以x=4+k(kZ),即x=14+k(kZ)。又因为x-1,2,所以x=-34,14,54,因此A-34,-22,B14,22,C54,-22,所以ABC的面积是1222254+34=2,故选C。13.(2019河南开封高一月考)设函数f(x)=sin(x+),A0,0。若f(x)在区间6,2上单调,且f2=f23=-f6,则f(x)的最小正周期为()。A.2B.2C.4D.答案：D解析：因为f(x)=sin(x+)在区间6,2上单调,0,所以2-6T2=122=,解得03。又因为f2=f23=-f6,所以
14、直线x=2+232=712为f(x)=sin(x+)的图像的一条对称轴,且2+62=3,点3,0为f(x)=sin(x+)的图像的一个对称中心。因为00)的图像关于点3,0对称,且在x=6处取得最小值,则的可能取值为()。A.2B.5C.7D.9答案：D解析：由题意,得sin3+ =0,且sin6+=-1,所以3+=k(kZ),6+=2k-2(kZ)。两式相减,得6=(k-2k)+2(k,kZ),即=6(k-2k)+3(k,kZ)。当k-2k=1时,=9,故选D。15.函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图像如图5-6-2-2所示。若x1,x2-6,3,且f(x1)=f(x2)(
15、x1x2),则f(x1+x2)=()。图5-6-2-2A.1B.12C.22D.32答案：D解析：由图像可知A=1,T2=3-6=2,T=,=2T=2,所以f(x)=sin(2x+)。又因为点-6,0在f(x)的图像上,所以sin-3+=0。因为|0,函数f(x)=cosx+3图像的一条对称轴方程为x=3,一个对称中心为12,0,则有()。A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1答案：A解析：由题意知3 -12T4,故T=2,2。17.(2018辽宁大连第二中学高二期末)当-2x2时,函数f(x)=2sinx+3的最大值是,最小值是。答案：2-22解析：-2x2,-6x+356。当x+
16、3=-6,即x=-2时,f(x)min=-22,当x+3=2,即x=6时,f(x)max=2。18.已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,-0),其图像最低点的纵坐标是-3,相邻的两个对称中心是3,0和56,0,则f(x)图像的对称轴方程为。答案：x=712+k2(kZ)解析：由题意,得A=3,T=256-3=,2=,=2,f(x)=3sin(2x+)。又点3,0在f(x)的图像上,f3=0,3sin23+=0,sin23+=0。又-f(),求f(x)的单调递增区间。答案：解:f2f(),sin(+)sin ,得sin 0。又f(x)f6对xR恒成立,故f6=1,即sin3+=1,3+
17、=2+k,kZ,=6+k,kZ。又sin 0,0,|2的部分图像如图5-6-2-3所示。图5-6-2-3(1)求函数f(x)的解析式;答案：由函数图像知A=2。因为图像过点(0,1),所以f(0)=1,所以sin =12。因为|2,所以=6。由函数图像知T2=23-6=2,所以T=,得=2。所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+6。(2)设112x1112,且方程f(x)=m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围和这两个根的和。答案：由(1)知函数y=2sin2x+6。若112x1112,则当-2m0或3m2时,直线y=m与曲线y=2sin2x+6,x12,1112有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根。所以m的取值范围为-2m0或3m2。当-2m0时,两根和为43;当3m2时,两根和为3。
