1、专题检测（十八） 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题大题专攻强化练1(2019开封模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点解：(1)由题意得a21，a，又bc，a2b2c2，b1，椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)得M(0，1)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，得x01.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm
2、(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得(12k2)x24kmx2m220，则8(2k2m21)0，x1x2，x1x2.由k1k22，得2，即2，(22k)x1x2(m1)(x1x2)，(22k)(2m22)(m1)(4km)，由m1，得(1k)(m1)km，mk1，即ykxmkxk1k(x1)1，故直线AB过定点(1，1)，经检验，当k0或kb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上的一个动点，且F1PF2面积的最大值为4.(1)求C的方程；(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定
3、值，并求该定值解：(1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c.因为SF1PF2|F1F2|y0|2cbbc，所以bc4.又e，a2b2c2，所以a4，b2，c2，所以C的方程为1.(2)证明：由(1)可知A(4，0)，B(4，0)，F1(2，0)由题可知：x02，且x04.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的方程为yk1(x4)，令x2得y6k1，故M(2，6k1)直线PB的方程为yk2(x4)，令x2得y2k2，故N(2，2k2)记以MN为直径的圆为圆D，则D(2，3k1k2)如图，过点F1作圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT，则|F1T|2|F1D|2|DT|2，所
4、以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2，又k1，k2，所以k1k2，由1，得y(x16)，所以k1k2，则|F1T|21612k1k2161225，所以|F1T|5.故切线长为定值5.3(2019福州市质量检测)已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程解：(1)依题意，设直线l1的方程为yx，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(1，0)到直线l1：y
5、x 的距离d.即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，所以y，所以y，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即B点的坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x，联立得，x212，因为144k24
6、8kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0，得B点坐标为.所以，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，所以点N在定直线y3上4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2a|AF1|AF2|2，因此a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y2xt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)0，故y0，且3t3.由，得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2.又3t3，所以y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1，1矛盾因此不存在满足条件的直线