1、第六章数列第二讲等差数列及其前n项和1.2021嘉兴市高三测试数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2-n+a,nN*,则“a=0”是“数列a2n为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.2021南昌市高三测试已知Sn为等差数列an的前n项和,3a3=5a2,S10 =100,则a1=()A.1B.2C.3D.43.2021洛阳市统考已知等差数列an的前n项和为Sn,S4=7a1,则a5a2=()A.2B.3C.32D.534.2021江西红色七校联考在等差数列an中,若a1+a2+a3=36,a11+a12+a13=84,则a5+a9=(
2、)A.30B.35C.40D.455.2021湖北省四地七校联考在等差数列an中,已知a70,a3+a90,则数列an的前n项和Sn的最小值为()A.S4B.S5C.S6D.S76.2021陕西省部分学校摸底检测数列2an+1是等差数列,且a1=1,a3=-13,那么a5=()A.35B.-35C.5D.-57.2021惠州市一调张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺,则该女子织布每日增加的尺数为()A.47B.1629C.81
3、5D.16318.2020湖北部分重点中学高三测试已知等差数列an满足4a3=3a2,则an中一定为零的项是()A.a6B.a7C.a8D.a99.2020大同市高三调研若等差数列an的前n项和Sn有最大值,且a11a100时,SnS5D.当S110时,SnS512.2021河南郑州一中等名校联考等差数列与向量综合已知Sn,Tn分别为等差数列an,bn的前n项和,SnTn=3n+24n+5,设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点,且AP=a2+a4b3AB+AC,则实数的值为()A.2825B.-925C.325D.182513.2020成都市三诊设数列an的前n项和为Sn,若a1=5,
4、S5=10,且Snn是等差数列,则|a1|+|a2|+|a3|+|a10|的值为.14.2021江苏省部分学校学情调研记Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.15.已知数列xn满足xn+2+xn=2xn+1+3,且x1=1,x2=5,则x40=.答 案第六章数列第二讲等差数列及其前n项和1.A因为Sn=n2-n+a,nN*,所以an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2,即an=a,n=12n-2,n2,所以a2n=4n-2,nN*,所以无论a为何值,数列a2n都为等差数列.所以“a=0”是“数列
5、a2n为等差数列”的充分不必要条件,故选A.2.A设等差数列an的公差为d,依题意3a3=5a2,S10=100,即3(a1+2d)=5(a1+d),10a1+45d=100,解得a1=1,d=2.故选A.3.A设等差数列an的公差为d,因为S4=7a1,所以4a1+432d=7a1,即a1=2d,所以a5a2=a1+4da1+d=6d3d=2,故选A.4.C解法一设等差数列an的公差为d,则由题意可得,a1+(a1+d)+(a1+2d)=36,(a1+10d)+(a1+11d)+(a1+12d)=84,解得a1=525,d=85,所以a5+a9=(a1+4d)+(a1+8d)=2a1+12d
6、=2525+1285=40,故选C.解法二由a1+a2+a3=3a2=36,得a2=12,由a11+a12+a13=3a12=84,得a12=28,所以a5+a9=a2+a12=12+28=40,故选C.5.C在等差数列an中,a3+a9=2a60,a60,数列an的公差d0,首项a10,数列an的前n项和Sn的最小值为S6.故选C.6.B解法一令bn=2an+1,由已知得数列bn是等差数列,设其公差为d.因为a1=1,a3=-13,所以b1=2a1+1=1,b3=2a3+1=3,所以d=b3-b12=1,所以b5=b1+4d=5,即2a5+1=5,所以a5=-35,故选B.解法二因为数列2a
7、n+1是等差数列,所以2a1+1+2a5+1=22a3+1,又a1=1,a3=-13,所以21+1+2a5+1=22-13+1,解得a5=-35,故选B.7.B由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列,记为an,则a1=5.记an的前n项和为Sn,则S30=390.设an的公差为d,所以S30=30a1+30292d=305+30292d=390,解得d=1629,故选B.8.A解法一设数列an的公差为d(d0),因为4a3=3a2,所以4(a1+2d)=3(a1+d),所以a1=-5d,故an=a1+(n-1)d=(n-6)d.令(n-6)d=0,得n=6,故选A.解法二设数列an的公差为d
8、(d0),因为4a3=3a2,所以a3=-3d.又a3=a1+2d,所以a1=-5d,故an=-5d+(n-1)d.令an=0,得n=6,所以数列an中,a6=0.故选A.9.C由等差数列an的前n项和Sn有最大值,且a11a10-1,可知等差数列an的公差d0,a110,且a11-a10,则a10+a110,得2a10=a1+a190,所以S190,由a10+a110,得a1+a20=a10+a110,所以S200;当n4时,an0,d0或a10,且a3=-a8,S10=10(a1+a10)2=5(a3+a8)=5(a5+a6)=0.所以a5,a6异号且均不为0.对于A,S11=S10+a1
9、1=11a60,故A不正确;对于B,当n=1时,S1=a10,S10=0,此时SnS11-n,故B不正确;对于C,当S110时,11a60,a60,则a50,于是a10,数列an是递增数列,所以(Sn)min=S5,所以SnS5,故C正确;对于D,当S110时,11a60,a60,于是a10,d0,得n133,所以|a1|+|a2|+|a3|+|a10|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10=2(a1+a2+a3+a4)-a1-a2-a3-a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10=2S4-S10=2(-3416+2344)-(-34100+23410)=792.14.
10、(1)设an的公比为q,则an=a1qn-1,由已知得a1+a1q=2,a1q2=S3-S2=-8,解得a1=-2,q=-2,所以an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)得Sn=-21-(-2)n1-(-2)=-23+23(-2)n,所以Sn+1=-23+23(-2)n+1=-23-43(-2)n,Sn+2=-23+23(-2)n+2=-23+83(-2)n,则Sn+1+Sn+2=-43+43(-2)n=2Sn,所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.15.2 380由xn+2+xn=2xn+1+3,得(xn+2-xn+1)-(xn+1-xn)=3,又x2-x1=4,所以数列xn+1-xn是首项为4、公差为3的等差数列,得xn+1-xn=4+(n-1)3=3n+1,则当n2时,xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(xn-2-xn-3)+(x2-x1)+x1=(3n-1)n2 ,得x40=(340-1)402=2 380.