1、山西省太原市第五中学2021届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1设集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2若复数满足：（为虚数单位），则等于（ ）A B C D3函数 ，的图象是（ ）ABCD4. 如图，设向量，若，且，则用阴影表示点所有可能的位置区域正确的是（） A B C D 5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度6. 在等差数列中，则（ ）. A B C D 7. 在的展开式中，的系数
2、是14，则的系数是（）A. 28B56C112 D 224 8地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示里氏震级的计算公式为：M=lg（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量E=104.8101.5M（单位：焦耳），其中M为地震震级。已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A
3、,则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为 ( )A. 2A B. 10A C. 100A D. 1000A9. A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（）A. B. C. D. 10. 已知正四棱锥的高为2，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面ABCD与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D. 11. 在ABC中，D是BC的中点，已知，则ABC的面积为（ ）A B C D 12过双曲线C：(
4、a0，b0)的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）ABCD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点 P(2，4)，则该抛物线的方程是 14. 任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该 数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过_次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有
5、可能取值组成的集合为_15. 在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科学生约100000人某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第 名.参考数值：；，16. 已知函数 ，若存在实数，满足，且，则的最小值为_三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）已知等差数列的前项和为，且，.数列满足.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证.18.（12分）叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.19.（12分）团结协作
6、、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量最近，某研究性学习小组就是否观过电影夺冠（中国女排）对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影夺冠（中国女排）的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影夺冠（中国女排）的人数为，求随机变量的数学期望及方差20.（12分）已知
7、椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（3，0），B（3，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究BMO与NMO的面积之比是否为定值21.（12分）已知函数（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）f（x）2x+（a1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围说明：请在22、23题中任选一题做答如果多做，则按所做第一题记分22（10分）平面
8、直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：（1）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM| 23（10分）已知函数f（x）|xa|+2|x+1|（aR）（1）当a4时，解不等式f（x）8；（2）记关于x的不等式f（x）2|x3|的解集为M，若4，1M，求a的取值范围1. B 2. D 3. B 4. D5. A 【解析】，故选A.6. A 7. D 8. C 9. B 10. A 【解析】因为正四棱锥，所以底面是正方形，结合高为2，设底面对角线交点为M，所以，
9、故，所以是等腰直角三角形因为截面过PM的中点N，所以N为截面正方形的中心，且截面，设球心为O，球的半径为R，则在直角三角形中，在直角三角形APM中，即，解得，故故选：A11. D12. D 【解析】有两种情况：（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限.如图，设OAB内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，又，所以，所以，从而可得. （2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限.如图，易知，所以的内切圆半径为，所以，又因为，所以，所以，则，从而可得. 综上，双曲线C的离心率为.故选D.13. 14. 5, 15. 【解析】考试
10、的成绩服从正态分布，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的16. 【解析】解：作出的图象如图所示，因为，所以，即，所以，由图可知，令，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故答案为：注意多变量化为单变量17已知等差数列的前项和为，且，.数列满足.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证.【解答】(1)设公差为，由题可知： （2分）当时， （3分）当时， ， （5分） （6分）（2） （7分） （10分） （12分）18 叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (1) 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面
11、垂直. （1分）已知于点，求证：. （2分）证明：在内引直线，则是二面角的平面角。 （4分）由可知：又 （6分）(2)已知，求证. （7分）证明：在内任取一点，过在内作于，于由上述定理可知： （10分） （11分）同理可得. （12分）19团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量最近，某研究性学习小组就是否观过电影夺冠（中国女排）对影迷们随机进行了一次抽样调查，调数据如表（单位：人）是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样
12、本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影夺冠（中国女排）的概率：（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影夺冠（中国女排）的人数为，求随机变量的数学期望及方差【解答】解：（1） （2分）所以有的把握认为看此电影与年龄有关. （3分）（2）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中，观看过电影的有（人），没观看过的有2人， （4分）记抽取的3人中有i人观看过电影为事件Ai（i1，2，3）则， （6分）从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为： （8分）（3）由题意知，观看过该电影的频率为，将频率视为概率，
13、（9分）则随机变量服从二项分布，所以随机变量的数学期望为，（11分）方差为 （12分）20已知椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（3，0），B（3，0）（）求椭圆C的标准方程；（）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究BMO与NMO的面积之比是否为定值【解答】解：（）由题意，a3，又e，c， （2分）则b （3分）椭圆C的方程为 （4分）（）设P（x0，y0）（y00），则直线AP的方程为，取x4，可得点E（4，）， （5分）直线BE的斜率为，直线
14、l的方程为， （6分）又直线PB的方程为，联立直线l与PB的方程，消去y得， （8分）， （9分）代入解得点N的横坐标，即N点轨迹方程为： （10分）故BMO与NMO的面积之比为4：7 （12分）21已知函数f（x）xaex（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）f（x）2x+（a1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围【解答】解（1）因为数f（x）xaex（aR），所以f（x）1aex（1分）当a0时，因为ex0，所以f（x）0，此时函数f（x）的单调递增区间为（，+）（2分）当a0时，令f（x）0，解得x
15、ln当x时，f（x）0，当x时，f（x）0（4分）此时，f（x）的单调递增区间为（，），f（x）的单调递减区间为（ln）综上所述：当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（，+），当a0时，f（x）的单调递增区间为（，），f（x）的单调递减区间为（ln） （5分）（2）因为g（x）f（x）2x+（a1）x，所以g（x）e2xaex+a （6分）依题意，解得a4 （7分）因为x1和x2是g（x）的极值点，所以，则x1+x2lna （8分）所以g（x1）+g（x2）（）+（），alnaa所以，由g（x1）+g（x2）（x1+x2），可得alnaalna，因为a4，lna0，所以等价于 （10分）令（
16、x）x，则（x），（x（4，+），由于， （11分）所以（x）0，所以（x）在（0，+）单调递增，且（4）4所以，（a）所以的取值范围是 （12分）22平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：（）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y10 （2分）曲线C的极坐标方程是：，根据，转换为直角坐标方程为 （5分）（）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为（t为参数）代入，得到，
17、（8分）所以 （10分）23已知函数f（x）|xa|+2|x+1|（aR）（1）当a4时，解不等式f（x）8；（2）记关于x的不等式f（x）2|x3|的解集为M，若4，1M，求a的取值范围【解答】解：（1）a4时，f（x）|x4|+2|x+1|，不等式可转化为， （2分）若f（x）8，或或 （3分）解得：2x1或1x2或x， （4分）综上，不等式的解集是（2，2） （5分）（2）若4，1M，f（x）2|x3|，即当x4，1时，|xa|+2|x+1|2|x3|恒成立， （6分）在4，1上，x+10，x30，|x+1|x1，|x3|3x， f（x）2|x3|等价于|xa|8，即8xa8，（8分）当x4，1时该不等式恒成立， （9分）解得9a4即a的范围是9，4 （10分）