1、22.3 向量数乘运算及其几何意义 第二章 平面向量学习导航学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义 2能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算(重点)3掌握向量的共线定理及应用(重点、难点)学法指导 1.实数与向量a可作数乘，但实数不能与向量a进行加、减运算，如a、a都是无意义的还必须明确a是一个向量，的符号与a的方向有关，|的大小与a的模长有关 2利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.第二章 平面向量1向量的数乘运算的概念(1)定义：实数
2、与向量a的积是一个_ 向量(2)运算律：(a)_；()a_；(ab)_ 特别地，()a(_)(_)，(ab)_ 2共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_()aaaabaaabba1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量a的积是向量()(2)共线向量定理中，条件a0可以去掉()2化简4(ab)3(ab)b()Aa2b Ba Ca6bDa8b D3在四边形 ABCD 中，若AB 12CD，则此四边形是()A平行四边形B菱形C梯形D矩形C4若|a|5，b 与 a 的方向相反，且|b|10，则 a_b.12向量的线性运算计算：(1)3(ab)2(ab)a；(2
3、)(2a3bc)(3a2bc)；(3)12(3a2b)(a12b)2(12a38b)(链接教材 P88 例 5)解(1)原式3a3b2a2ba5b.(2)原式2a3bc3a2bca5b2c.(3)原式12(2a32b)a34ba34ba34b0.向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解 1化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)162(2a8b)4(4a2b
4、)解：(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b.(2)原式16(4a16b16a8b)16(12a24b)2a4b.用已知向量表示其他向量 如图，ABCD 的两条对角线相交于点 M，且AB a，AD b，你能用 a、b 表示MA、MB、MC 和MD 吗？(链接教材 P89 例 7)解 在ABCD 中，AC AB AD ab，DB AB AD ab.又平行四边形的两条对角线互相平分，MA 12AC 12(ab)12a12b，MB 12DB 12(ab)12a12b，MC 12AC 12a12b，MD MB 12DB 12a12b.用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向
5、量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形中的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解 2.如图所示，D，E 分别是ABC 中边 AB，AC 的中点，M，N 分别是 DE，BC 的中点，已知BC a，BD b，试用 a，b分别表示DE，CE，MN.解：由三角形中位线定理，知 DE 綊12BC，故DE 12BC，即DE 12a.CE CB BD DE ab12a12ab.MN MD DB BN 12ED DB 12BC 14ab12a14ab.共线向量定理的应用如图，已知任意两个非零向量 a、b，试作OA ab，OB
6、 a2b，OC a3b.你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？(链接教材 P89 例 6)解 分别作向量OA、OB、OC，过点 A、C 作直线 AC(如图)由图猜想 A、B、C 三点共线因为AB OB OA a2b(ab)b，而AC OC OAa3b(ab)2b，于是AC 2AB.所以，A、B、C 三点共线(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据(2)若 A，B，C 三点共线，则向量AB，AC，BC 在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据 3已知非零
7、向量 e1，e2 不共线(1)如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A，B，D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值 解：(1)证明：AB e1e2，BD BC CD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB，AB，BD 共线，且有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)ke1e2 与 e1ke2 共线，存在，使 ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，k1.规范解答 向量共线定理的应用(本题满分 12 分)(2014邢台高一检测)设 e1，e2 是两个不共线的
8、向量，AB 2e1ke2，CB e13e2，CD 2e1e2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的值解 若 A，B，D 三点共线，则AB 与BD 共线，1 分所以可设AB BD.2 分又因为BD CD CB 4 分(2e1e2)(e13e2)e14e2，6 分所以 2e1ke2(e14e2)，即(4k)e2(2)e1.8 分因为 e1，e2 是两个不共线的向量，所以4k0，20，10 分故 2，k8.12 分 规范与警示 1.解答本题易误点：一是不知由 A，B，D三点共线转化为向量间的关系，二是书写步骤不够规范，如不说明 e1，e2 两向量不共线 处向量BD 表示为 e14e2是一得分点，处根据向量 e1，e2 不共线得到4k0，20，是求解 k 的关键 2对于两个向量是否共线，可转化为存在性问题解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程若方程有解且与题目条件无矛盾，则存在，反之不存在 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放