1、2019-2020学年高三年级第二学期数学（理）第4次周测时间：2020年4月20日 16:2517:05班级_ 姓名_ 得分_1. 如图，在直三棱柱中，D为上一点，E为AC上一点，且，求证：；求证：平面；求四棱锥的体积2.如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，求证：底面ABCD；求直线CP与平面BDF所成角的大小；在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由3如图在椎体中，是边长为1的棱形，且=60，分别是，的中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值4. 如图所示，直角梯形ABCD中，四边形EDCF为矩形，平面平面AB
2、CD求证：平面ABE；求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由答案和解析1.如图，在直三棱柱中，D为上一点，E为AC上一点，且，求证：；求证：平面；求四棱锥的体积【答案】证明：在中，则，底面ABC，又，平面，平面，又平面，；证明：在平面中，过E作交于F，则，且，则四边形BDFE为平行四边形，平面，平面，平面；解：，2. 【答案】证明：因为底面ABCD是菱形，所以O为AC，BD中点又因为，所以，且，AC、底面ABCD，所以底面ABCD；解：由底面ABCD是菱形可得，又由可知，如
3、图，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系由是边长为2的等边三角形，可得所以所以，由已知可得，设平面BDF的法向量为y，则即令，则，所以0，因为，所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，所以直线CP与平面BDF所成角的大小为；解：设，则，若使平面BDF，仅需且平面BDF，即，解得，所以在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，此时3【解析】法一：（）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD因PA=PD，有，在中，有为等边三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF（），为二面角PADB的平面角，在在法二：（）取AD
4、中点为G，因为又为等边三角形，因此，从而平面PBG延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系设由于得平面DEF（）取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量由取4.【答案】解：证明：四边形EDCF为矩形，平面平面ABCD，平面平面，平面EDCF，平面ABCD由题意，以D为原点，DA所在直线为x轴，过D作平行于AB直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则0，2，0，2，2，设平面ABE的法向量为y，令，则，所以平面ABE的法向量为0，又2，；又平面ABE，平面ABE；，0，设平面BEF的法向量为b，令，则，则平面BEF的法向量为，设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为，平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；设2，；，又平面ABE的法向量为0，设直线BP与平面ABE所成角为，化简得，解得或；当时，；当时，；综上，
