1、第三章导数及其应用第三讲导数的综合应用拓展变式1.2018全国卷,21,12分已知函数f(x)=1x-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x2a-2.2.2020全国卷,21,12分已知函数f(x)=sin2xsin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性.(2)证明:|f(x)|338.(3)设nN*,证明:sin2xsin22xsin24xsin22nx3n4n.3.2017全国卷,21,12分已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(
2、1+12)(1+122)(1+12n)m,求m的最小值.4.2020全国卷,20,12分文已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.5.已知函数f(x)=-x+(x+a)ln x(aR)有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围; (2)当a=2时,已知函数f(x)的图象在A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x14.答 案第三章导数及其应用第三讲导数的综合应用1.(1)f(x)的定义域为(0,+), f(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.若a2,则f(x)0,当且仅当a=2,x=1时f(x
3、)=0,所以f(x)在(0,+)上单调递减.若a2,令f(x)=0,得x=a-a2-42或x=a+a2-42.当x(0,a-a2-42)(a+a2-42,+)时,f(x)0.所以f(x)在(0,a-a2-42)和(a+a2-42,+)上单调递减,在(a-a2-42,a+a2-42)上单调递增.(2)由(1)知,若f(x)存在两个极值点,则a2.因为f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.因为f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+alnx1-lnx2x1-x2=-2+alnx1-lnx2x1-x2=-2+a-2lnx21x2-x2,所以
4、f(x1)-f(x2)x1-x2a-2等价于1x2-x2+2ln x20.设函数g(x)=1x-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减,又g(1)=0,所以当x(1,+)时,g(x)0.所以1x2-x2+2ln x20,即f(x1)-f(x2)x1-x20;当x(3,23)时,f(x)0.所以f(x)在区间(0,3),(23,)上单调递增,在区间(3,23)上单调递减.(2)由已知知f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,上的最大值为f(3)=338,最小值为f(23)=-338.因为f(x+)=sin2(x+)sin(2x+2)=sin2xsin 2x=f(x
5、),所以f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|338.(3)由(2)得|sin2xsin 2x|338,|sin22xsin 4x|338,|sin22n-1xsin 2nx|338,所以|sin2xsin32xsin34xsin32n-1xsin 2nx|(338)n,所以|sin3xsin32xsin32nx|(338)n|sinxsin22nx|(338)n,即|sin3xsin32xsin32nx|(32)3n,所以sin2xsin22xsin22nx(32)3n23=3n4n.3.(1)f(x)的定义域为(0,+).若a0,因为f(12)=-12+aln 20,由f(x)=1-a
6、x=x-ax知,当x(0,a)时,f(x)0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+)内的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0.故a=1.(2)由(1)知当x(1,+)时,x-1-ln x0.令x=1+12n,则ln(1+12n)12n.从而ln(1+12)+ln(1+122)+ln(1+12n)12+122+12n=1-12n1.故(1+12)(1+122)(1+12n)2,所以m的最小值为3.4.(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在(-
7、,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若01e,则f(ln a)0,所以f(x)在(-,ln a)上存在唯一零点.由(1)知,当x2时,ex-x-20,所以当x4且x2ln(2a)时,f(x)=ex2ex2-a(x+2)eln(2a
8、)(x2+2)-a(x+2)=2a0.故f(x)在(ln a,+)上存在唯一零点.从而f(x)在(-,+)上有两个零点.综上,a的取值范围是(1e,+).5.(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=-1+ln x+x+ax=ln x+ax.因为函数f(x)有两个不同的极值点,所以f(x)=0即ln x+ax=0有两个不同的实数解.分离参数得a=-xlnx.记g(x)=-xlnx(x0),则g(x)=-1-ln x,令g(x)=0,解得x=1e.当x(0,1e)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当x(1e,+)时,g(x)0).由题意可知,函数f(x)的图象在A(x1,f(
9、x1),B(x2,f(x2)两个不同的点处的切线互相平行,即f(x1)=f(x2),即m(x1)=m(x2).易得m(x)=-2x2+1x=x-2x2, 所以函数m(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.故由m(x1)=m(x2),可知必有0x122, 而m(x1)-m(4-x1)=2x1+ln x1-24-x1-ln(4-x1), 令h(x)=2x-24-x+ln x-ln(4-x)(0x2),则h(x)=-2x2-2(4-x)2+1x+14-x=-2(4-x)2-2x2+x(4-x)2+x2(4-x)x2(4-x)2=-8(x-2)2x2(4-x)20,所以m(x1)-m(4-x1)0,即m(x1)m(4-x1),所以m(x2)m(4-x1).又函数m(x)在(2,+)上单调递增,所以x24-x1,即x1+x24.