1、专题检测（二十四） 坐标系与参数方程大题专攻强化练1(2019郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：x2(y3)29，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线(0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(4，0)，求MPQ的面积解：(1)曲线C1：x2(y3)29，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为6sin .设B(，)，则A，则 6sin6cos .所以曲线C2的极坐标方程为6cos .(2)M到直线的距离为d4sin2，射线与曲线C1
2、的交点P，射线与曲线C2的交点Q，所以|PQ|33，故MPQ的面积S|PQ|d33.2(2019湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为cos.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值解：(1)由cos，得2cos sin ，x2y2xy0，即圆C的直角坐标方程为.(2)设l上任意一点P(t，t2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，圆C的圆心为C，半径r，|PQ|2，即切线长的最小值为2.3(2019福建五校第二次联考)在平面直角坐标系xOy中，直
3、线l的参数方程为(t为参数)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，求POQ.解：(1)由得直线l的普通方程为xy1，又所以直线l的极坐标方程为(cos sin )1.由2cos 得22cos ，即x2y22x，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)曲线C的方程可化为(x1)2y21，表示圆心为C(1，0)且半径为1的圆由(1)得直线l的普通方程为xy(1)0，则点C到直线l的距离d，所以|PQ|21，所以PCQ是等边三角形，所以PCQ，又O是圆C上的点，所
4、以POQ.4(2019蓉城名校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos1，M为曲线C1上的动点(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求点M到曲线C2的距离d的最小值及此时点M的坐标解：(1)由题意知，曲线C1：化为普通方程，得(x2)2(y2)24；曲线C2：cos1，展开，化简得cos sin 2，又所以曲线C2的直角坐标方程为xy20.(2)M(22cos ，22sin )，则点M到曲线C2的距离d，所以当cos1，即时，d取得最小值，dmin.此时M(1
5、，2)5(2019昆明市诊断测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(R)(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若曲线C2的极坐标方程为8cos 0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交点为B(异于原点)，求|AB|.解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x29y29，故曲线C1的极坐标方程为282sin290.(2)因为A，B两点在直线l上，所以可设A，B.把点A的极坐标代入C1的极坐标方程得，8sin290，解得1.已知A点在第一象限，所以1.因为B异于原点，所以把点B的极坐标代入C
6、2的极坐标方程得，28cos0，解得24.所以|AB|12|4|5.6(2019合肥市高三质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数，0，)在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为2(13sin2)4.(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2)若直线l：xt分别与曲线C，曲线E交于点A，B，求AOB面积的最大值解：(1)消去参数得曲线C的普通方程为x2y24(y0)，由得曲线E的直角坐标方程为y21.(2)设A(2cos ，2sin )，0，要使AOB的面积最大，则B(2cos ，sin )SAOB|AB|xB|3sin |2cos |si
7、n 2|.0，20，2，当或时，AOB的面积取得最大值.7(2019广东六校第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22sin1.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|OB|，求.解：(1)由(t为参数)消去参数t，得y2x.由22sin1，得22cos 2sin 10，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21.直线l的普通方程为y2x，曲线C的直角坐标方程为
8、(x1)2(y1)21，曲线C表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆(2)将xt，yt代入x2y22x2y10，得t2t10，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t20，t1t210，t10，t20.|OA|OB|，0， . 8(2019郑州市高三第三次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1：y .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin.(1)若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求的取值范围；(2)若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为(2，1)，求|QM|QN|的值解：(1)由题意可知，直线l的普通方程为xy10，A(1，0)，B(0，1)，C1的方程可化为x2y21(y0)，设点P的坐标为(cos ，sin )，0，cos sin 1sin10，1(2)由4sin及xcos ，ysin 得曲线C2的直角坐标方程为(x2)2(y2)28，直线l的标准参数方程为(m为参数)，代入C2得m2m70，设M，N两点对应的参数分别为m1，m2，则m1m2，m1m270，故m1，m2异号，|QM|QN|m1|m2|m1m2|.