1、3.4生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_，通过前面的学习，我们知道_是求函数最大(小)值的有力工具，运用_，可以解决一些生活中的_2解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值3解决优化问题的基本思路是： 上述解决优化问题的过程是一个典型的_ _过程一、选择题1某
2、箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2 (0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A30 B40 C50 D其他2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件3某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32米，16米 B30米，15米C40米，20米 D36米，18米4若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A B
3、C D25要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A cm B cmC cm D cm6某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r，则总利润最大时，年产量是()A100 B150 C200 D300题号123456答案二、填空题7某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处8如图所示，一窗户的上部是半圆，下
4、部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为_9做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_三、解答题10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数
5、与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)13已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q，价格p与产量q的函数关系式为p25q
6、，求产量q为何值时，利润L最大利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案3.4生活中的优化问题举例答案知识梳理1优化问题导数导数优化问题作业设计1BV(x)60xx20，x0或x40.x(0,40)40(40,60)V(x)0V(x)极大值可见当x40时，V(x)达到最大值2Cyx281，令y0，得x9或x9(舍去)当0x0；当x9时，y0)，则L2.
7、令L0，得x16.x0，x16.当x16时，L极小值Lmin64，此时堆料场的长为32(米)4C设底面边长为a，直三棱柱高为h.体积Va2h，所以h，表面积S2a23aa2，Sa，由S0，得a.经验证，当a时，表面积最小5D设高为x cm，则底面半径为 cm，体积Vx(202x2) (0x0，当x时，V400时，p0恒成立，易知当x300时，总利润最大75解析依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此两项费用之和为y，y，令y0得x5(x5舍去)，经验证，此点即为最小值点故当仓库建在离车站5千米处时，两项
8、费用之和最小811解析设窗户面积为S，周长为L，则Sx22hx，hx，所以窗户周长Lx2x2hx2x，L2.由L0，得x，x时，L0，所以当x 时，L取最小值，此时1.93解析设半径为r，则高h.水桶的全面积S(r)r22rr2.S(r)2r，令S(r)0，得r3.当r3时，S(r)最小10解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1 (0xm)，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256 (0xm)(2)由 (1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区
9、间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小11解(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知条件24k22，于是有k6，所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30(2)根据(1)，有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)极小值极大值故x12时，f(x)达到极大值因为f(
10、0)9 072，f(12)11 664，所以定价为301218(元)能使一个星期的商品销售利润最大12解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xN*)，f(x)48，令f(x)0得x15.当x15时，f(x)0；当0x15时，f(x)0.因此，当x15时，f(x)取最小值f(15)2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层13解收入Rqpq25qq2.利润LRC(1004q)q221q100 (0q200)，Lq21，令L0，即q210，解得q84.因为当0q0；当84q200时，L0，所以当q84时，L取得最大值所以产量q为84时，利润L最大
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