1、第二章函数概念与基本初等函数第三讲二次函数与幂函数练好题考点自测 1.下列说法正确的个数是()二次函数y=ax2+bx+c,xa,b的最值一定是4ac-b24a.二次函数y=ax2+bx+c(xR)不可能是偶函数.二次函数y=x2+mx+1在1,+)上单调递增的充要条件是m-2.幂函数的图象不可能出现在第四象限.当n0时,幂函数y=xn在(0,+)上是增函数.若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数.A.2B.3C.4D.52.2017浙江,5,4分若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关
2、,且与b无关D.与a无关,但与b有关图 2-3-13.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图2-3-1所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.dcbaB.abcdC.dcabD.abdc4.2020江苏,7,5分已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是.5.2018上海,7,5分已知-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.拓展变式1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且在x轴上截得的线段长为2,若对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=
3、.2.(1)将示例2中的条件“在0x1时有最大值2”改为“在0x1时有最小值2”,则实数a的取值范围为.(2)将示例2中的条件“在0x1时有最大值2”改为“f(x)2在0,1上恒成立”,则实数a的取值范围为.(3)将示例2中的条件“在0x1时有最大值2”改为“f(x)2在a,a+1上恒成立”,则实数a的取值范围为.3.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a1).(1)若函数f(x)的定义域和值域均为1,a,则实数a的值为;(2)若f(x)在区间(-,2上单调递减,且对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,则实数a的取值范围为.4.(1)2020全国卷,10,5分文设函数
4、f(x)=x3-1x3,则f(x)()A.是奇函数,且在(0,+)单调递增B.是奇函数,且在(0,+)单调递减C.是偶函数,且在(0,+)单调递增D.是偶函数,且在(0,+)单调递减(2)若(2m+1)12(m2+m-1)12,则实数m的取值范围是.5.(1)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(1,4)内存在零点,则实数m的取值范围是.(2)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是.答 案第二章函数概念与基本初等函数第三讲二次函数与幂函数1.B因为x的取值有范围限制,所以函数最值不一定是4ac-b24a,故错误;当b=
5、0时,二次函数y=ax2+bx+c(xR)为偶函数,故错误;由-m21得,m-2,故正确;由幂函数的图象与性质可知正确;当n=-1时,幂函数y=xn是奇函数,但不是增函数,故错误.正确说法的个数为3,故选B.2.B由题意得f(x)=(x+a2)2-a24+b,分情况讨论:当0-a21时,f(x)min=m=f(-a2)=-a24+b,f(x)max=M=maxf(0),f(1)=maxb,1+a+b,M-m=maxa24,1+a+a24与a有关,与b无关;当-a21时,f(x)在0,1上单调递减,M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有关,与b无关.综上所述,M-m与a有关,但与b无关,故选
6、B.3.B由幂函数的图象可知,在(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知abcd,故选B.4.-4由题意可得f(-8)=-f(8)=-823=-(23)23=-22=-4.5.-1-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,是奇数,且0,=-1.1.x2-4x+3因为f(2-x)=f(2+x)对任意xR恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,
7、即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.2.(1)易知函数f(x)=-x2+2ax+1-a(0x1)的最小值在端点处取得,故f(0)=2,f(0)f(1)或f(1)=2,f(1)f(0),即1-a=2,1-aa或a=2,a1-a,无解,故a的取值范围为.(2)-1,2由题意知f(x)max2,由示例2可知,a0,1-a2,解得-1a1,a2,解得11)在1,a上单调递减,所以f(x)max=f(1)=6-2a=a,f(x)min=f(a)=-a2+5=1,解得a=2.即实数a的值为2.(2)2a3因为f(x)在(-,2上单调递减,函数f(x)的对称轴为直线x=a,所以a2
8、.所以f(x)在1,a上单调递减,在a,a+1上单调递增,所以f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=maxf(1),f(a+1),又f(1)-f(a+1)=6-2a-(6-a2)=a(a-2)0,所以f(x)max=f(1)=6-2a.因为对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,所以f(x)max-f(x)min4,即6-2a-(5-a2)4,解得-1a3,又a2,所以2a3.即实数a的取值范围为2a3.4.(1)A函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),因为f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3+1x3=-(x3-1x3)=-f(x),所以函数
9、f(x)为奇函数,排除C,D.因为函数y=x3,y=-1x3在(0,+)上为增函数,所以f(x)=x3-1x3在(0,+)上为增函数,排除B,选A.(2)5-12mm2+m-1,解2m+10,得m-12;解m2+m-10,得m-5-12或m5-12;解2m+1m2+m-1,即m2-m-20,得-1m2.综上,实数m的取值范围是5-12m2.5.(1)(-8,1)二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1.若在区间(1,4)内存在零点,只需f(1)0即可,即-1+m0,解得-8m0,f(1)0,即2k-10,1+k-2+2k-10,解得k12,k14,即12k23,所以实数k的取值范围是(12,23).图D 2-3-1