1、青岛二中2019-2020学年第一学期期末考试高二数学试题一单选题1.若复数（为虚数单位），则（ ）.A. B. C. 1D. 8【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化为，再由复数模的求法即可求解.【详解】由所以.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.2.已知命题，则为（ ）.A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定变换形式：特称命题变全称命题，结论否定，即可求解.【详解】由命题，则为：，故选：B【点睛】本题考查了含有一个量词命题的否定，需熟记此类命题变换的形式，属于基础题.3.抛物线yx2的焦点坐标是( )
2、A. (0，)B. (，0)C. (1，0)D. (0，1)【答案】D【解析】抛物线化为标准方程得：开口向上，2p=4,p=2.所以焦点坐标是(0，1)故选D4.若函数在处取得极值，则（ ）.A. -4B. -3C. -2D. 2【答案】B【解析】【分析】对函数求导可得，即可求出，进而可求出答案.【详解】因为，所以，则，解得，所以.故选：B【点睛】本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.5.设，是两个实数，则“，中至少有一个数不小于1”是“”成立的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】D【解析】分析】根据充
3、分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若“，中至少有一个数不小于1”，可取，则“”不成立.若，可取，则，中至少有一个数不小于1不成立，所以“，中至少有一个数不小于1”是“”成立的既不充分又不必要条件.故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，同时考查了不等式的性质，属于基础题.6.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，则的定义域为.，当，单增，当，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的
4、判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.7.已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OM|，MF1F2的面积为4a2，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得为直角三角形，且，可得，由双曲线的定义，可得，结合三角形的面积，可得，从而可求双曲线的离心率【详解】由可得，即有为直角三角形，且，因为的面积为，所以又因为，所以，由双曲线定义可得，可得，双曲线的离心率为，故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，
5、一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解8.已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】问题转化为解不等式，令，根据函数的单调性以及奇偶性求出的取值范围即可.【详解】由，得，令，则，在上单调递增，又是奇函数，故，所以，故，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了导数在研究函数单调性中的应用、奇函数的性质，解题的关键是熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.二多选题9.在四面体中，以上说法正确的有（ ）A. 若，则可知B. 若
6、Q为的重心，则C. 若，则D. 若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的线性运算与数量积一一判断即可.【详解】解：对于， ，即，故正确；对于，若Q为的重心，则，即，故正确；对于，若，则故正确； 对于，故错误.故选：【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题.10.对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ）A. “”是“”的充要条件B. “”是“”的充分条件C. “”是“”的必要条件D. “是无理数”是“是无理数”的充要条件【答案】CD【解析】【分析】根据，时，不一定成立判断A错误；由不等式性质知时，不成立
7、判断B错误；由“”时一定有“”成立判断C正确；根据无理数的概念知“是无理数”是“是无理数”的充要条件正确.【详解】对于A，因为“”时成立，时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错，对于B，时，；，时，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错，对于C，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，C正确；对于D“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确.故选CD【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，充分必要条件，属于中档题.11.正方体中，棱的中点，为棱上的动点，则异面直线与所成角的余弦值可以是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正方体边长为
8、，且点到点的距离为，以，为轴，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】设正方体的边长为，且点到点的距离为， 以，为轴，因为棱的中点，为棱上的动点，所以， 所以，设异面直线与所成角为，则，因为，所以，故，故选：C【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，考查了学生的计算能力，属于基础题.12.已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆的定义和题设条件， 求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.【详解】由椭圆的定义，可得，又由， 解得，又由在中，可得，所以，即椭圆的离心率的取值范围是.
9、故选：【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三填空题13.当复数（为虚数单位）的实部与虚部的差最小时，_.【答案】【解析】【分析】根据复数概念求出实部与虚部，将实部与虚部作差，利用二次函数配方求最值，从而可求出复数，然后再利用复数的四则运算即可求解.【详解】复数的实部是，虚部是，令，当时，取得最小值，此时，.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的概念、复数的四则运算，属于基础题.14.已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则_
10、.【答案】【解析】【分析】画出图像，根据抛物线的性质求出，又，求出.【详解】已知抛物线，所以，如图，所以 又，所以，得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，掌握抛物线的性质是解题的关键，属于中档题.15.九章算术第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，平面平面，梯形，的高分别为，且，则_.【答案】【解析】【分析】过分别作，的高，垂足分别为，根据题意，得到，两两垂直；以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果.【详解】如图.过分别作，
11、的高，垂足分别为，因为平面平面，平面平面，所以平面；因此，又，因此，两两垂直；以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则由题意可得：，所以，则.故答案为：【点睛】本题主要考查求空间向量的数量积，熟记空间向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.16.已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】可知，从而根据条件可判断为减函数或存在极值点，求导数，从而可判断不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程有解，这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围.【详解】，要满足，使得成立，则函数为减函数或存在极值点，当时，不恒成立，即函数不是减函数，只能存在极值
12、点，有解，即方程有解，即，故答案为：【点睛】本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.四解答题17.已知命题恒成立；命题q：方程表示双曲线若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围【答案】(2) ;(2) ，或.【解析】试题分析：（1）当命题P为真命题时，转化为求在上的最小值，继而求出m的范围；（2）先求出当命题q为真命题时m的范围，再由已知条件得出p,q一个为真命题，一个为假命题，再分两种情况分别求出m的范围，最后取并集即可求出m的范围试题解析：（1）
13、，故命题为真命题时，（2）若命题为真命题，则，所以，因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.当命题为真命题，命题为假命题时，则，或；当命题为假命题，命题为真命题时， 舍去综上，或.18.已知直线与抛物线交于两点（异于原点）.（1）若直线过抛物线焦点，求线段的长度；（2）已知为坐标原点，若，求的值.【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去，根据韦达定理表示出和，利用弦长公式可求. （2）由于，从而有，利用韦达定理可得方程，从而求出的值【详解】（1）抛物线的焦点为，直线过抛物线焦点， 则，即， 设、，直
14、线与抛物线联立可得：，.（2）由，解得， ， ，即，所以，解得或，经检验.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、垂直关系的向量坐标表示，考查了学生的计算能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，已知平面平面，且，为等边三角形，.与平面所成角的正弦值为.（1）证明:平面；（2）若是的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出，从而可得，进而可得，利用线面平行的判定定理即可证出. （2）设的中点为，连接，则，分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】（1）平面平面，且，则平面 所以，因为，
15、为等边三角形，所以，又，且， 所以平面，所以，所以为与平面所成角，在中，由,则 所以，解得，在中，可得，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面. （2）设的中点为，连接，则，由（1）知， 分别以为轴，建立空间直角坐标系 则，则， 设平面的法向量为，令，设平面的法向量为，则，令，设二面角的平面角为，则.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理、空间向量法求面面角，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）,对函数求导,分别求出和,即可求出在点处的切线方程;（2）对求导,分、和三
16、种情况讨论的单调性,再结合在上恒成立,可求得的取值范围.【详解】（1）因,所以,所以,则,故曲线在点处的切线方程为.（2）因为,所以,当时,上恒成立,则在上单调递增,从而成立,故符合题意;当时,令,解得,即在上单调递减,则,故不符合题意;当时,在上恒成立,即在上单调递减,则,故不符合题意.综上,的取值范围为.【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.21.已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否
17、恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.【答案】（1）（2）直线恒过定点,详见解析【解析】【分析】（1）依题意由椭圆的简单性质可求出，即得椭圆C的方程；（2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标，同理可求出点的坐标，根据的坐标可求出直线的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标【详解】（1）由题有，.，.椭圆方程为.（2）设直线的方程为：，则或，同理，当时，由有.，同理，又，当时，直线的方程为直线恒过定点，当时，此时也过定点.综上:直线恒过定点.【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学
18、生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题22.己知函数（是常数，且）.（1）讨论函数的单调区间；（2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）求证:当，时，.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间是；（2）实数的取值范围为；（3）证明见详解；【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数与函数的单调性的关系即可得到.（2）在处取得极值，可得，解得，关于的方程化为，令（），利用导数研究单调性极值与最值，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，必须满足解得即可.（3）由（1）和（2）可知当时，即，可得当时，令，则，利用“累加法求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可证出.【详解】（1） 若，则，若，则，的单调递减区间为，单调递增区间是.（2）在处取得极值，解得，关于的方程化为，令（），令，解得或，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，则，即，解得，实数的取值范围为.（3）由（1）和（2）可知，当时，即，当时，令，则，依次取，累加求和可得，当时， ，当，时，【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用，求解函数的单调区间和极值问题以及运用导数证明不等式的问题的综合应用，属于难题.