1、63 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1设变量 x，y 满足约束条件x2y50，xy20，x0，则目标函数 z2x3y1 的最大值为()A11 B10C9D8.5解析：画出不等式组表示的平面区域如图，由目标函数得 y23xz13，根据目标函数的几何意义，显然当直线 y23xz13 在 y 轴上的截距最大时 z 最大，故在图中的点 A处目标函数取得最大值，点 A(3,1)，所以 zmax2331110.答案：B2已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组0 x 2y2x 2y给定若 M(x，y)为D 上的动点，点 A 的坐标为(2，1)，则 zOM OA 的最大值为(
2、)A3B 4C3 2D4 2解析：画出区域 D 如图所示，而 zOM OA 2xy，y2 xz，令 l0：y 2x，平移直线 l0，相应直线过点(2，2)时，截距 z 有最大值，故 zmax 2 224.答案：B3已知向量 a(xz,3)，b(2，yz)，且 ab，若 x，y 满足不等式|x|y|1，则 z的取值范围为()A2,2 B2,3C3,2 D3,3解析：因为 ab，所以 ab0，所以 2x3yz，不等式|x|y|1可转化为xy1 x0，y0 xy1 x0，y0 xy1 x0，y0 xy1 x0，y0，由图可得其对应的可行域为边长为 2，以点(1,0)，(1,0)，(0,1)，(0，1
3、)为顶点的正方形，结合图象可知当直线 2x3yz 过点(0，1)时 z 有最小值3，当过点(0,1)时 z 有最大值 3.所以 z 的取值范围为3,3答案：D4若不等式组x0 x3y43xy4所表示的平面区域被直线 ykx43分为面积相等的两部分，则 k 的值是()A.73B.37C.43D.34解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图所示，这里直线 ykx43只需要经过线段 AB 的中点 D 即可，此时 D 点的坐标为(12，52)，代入即可解得 k 的值为73.答案：A5已知圆面 C：(xa)2y2a21 的面积为 S，平面区域 D：2xy4 与圆面 C 的公共区域的面积大于1
4、2S，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B(，2C(，1)(1,2)D(，1)(1,2解析：依题意并结合图形分析可知，圆面 C：(xa)2y2a21 的圆心(a,0)应在不等式 2xy4 表示的平面区域内，即有a210，2a04，由此解得 a1，或 1a2.因此，实数 a 的取值范围是(，1)(1,2)，选 C.答案：C6某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型
5、卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z()A4650 元B4700 元C4900 元D5000 元解析：设派用甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则10 x6y72xy122xy190 x8，xN0y7，xN，目标函数 z450 x350y，画出可行域如图，当目标函数经过 A(7,5)时，利润 z 最大，为 4900 元答案：C二、填空题7若变量 x，y 满足约束条件32xy9，6xy9，则 zx2y 的最小值为_解析：根据32xy96xy9得可行域如图中阴影部分所示：根据 zx2y 得 yx2z2，平移直线 yx2得在 M
6、点取得最小值根据xy92xy3 得x4y5，则 z42(5)6.答案：68设 m1，在约束条件yxymxxy1下，目标函数 zx5y 的最大值为 4，则 m 的值为_解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为 y15xz5，显然只有 y15xz5在 y 轴上的截距最大时 z 值最大，根据图形，目标函数在点 A 处取得最大值，由ymxxy1，得 A(11m，m1m)，代入目标函数，即11m 5m1m4，解得 m3.答案：39已知实数 x，y 满足不等式组xy20，xy40，2xy50，目标函数 zyax(aR)若 z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数 a 的取值范围是_
7、解析：画出不等式组表示的可行域，如图：经 计 算，三 条 直 线的 交点 坐 标 分 别 为 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)，由 题 意，可 知3a13a，3a97a，解得 a1.答案：(1，)三、解答题10已知xy20，xy40，2xy50，求：(1)zx2y4 的最大值；(2)zx2y210y25 的最小值；(3)z2y1x1 的范围解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)(1)易知将直线 x2y40 向上平移过点 C 时 z 取最大值，将点 C(7,9)代入 z 得最大值为 21.(2)zx2y210y25 表示可行域内任一点(x，y)到
8、定点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是|MN|292.(3)z2y12x1表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q1，12 连线的斜率 k 的两倍，因此 kmaxkQA74，kminkQB38，故 z 的范围为34，72.11已知 O 为坐标原点，A(2,1)，P(x，y)满足x4y30，3x5y25，x10，求|OP|cosAOP 的最大值解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图所示)，由于|OP|cosAOP|OP|OA|cosAOP|OA|OP OA|OA|，而OA(2,1)，OP(x，y)，所以|O
9、P|cosAOP2xy5，令 z2xy，则 y2xz，即 z 表示直线 y2xz 在 y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点 M时，z 取到最大值，由x4y30，3x5y25，得 M(5,2)，这时 zmax12，此时|OP|cosAOP12512 55，故|OP|cosAOP 的最大值为12 55.12设函数 f()3sincos，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x，y)，且 0.(1)若点 P 的坐标为(12，32)，求 f()的值；(2)若点 P(x，y)为平面区域：xy1x1y1，上的一个动点，试确定角 的取值范围，并求函数 f()的最小值和最大值解析：(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得sin 32，cos12.于是 f()3sincos 3 32 122.(2)作出平面区域(即三角区域 ABC)如图所示，其中 A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是 02.又 f()3sincos2sin(6)，且6623，故当 62，即 3时，f()取得最大值，且最大值等于 2；当 66，即 0 时，f()取得最小值，且最小值等于 1.