1、2020-2021学年下学期宣化一中高三数学期初试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A=x|(x-2)(x+1)0，B=x|-2x02x+4e,x0，若x1x2且f(x1)=f(x2)，则|x1-x2|的最大值为()A. 2e-1eB. 2e+1C. 5eD. 52e二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法中正确的是()A. “ab”是“a2b2”的既不充分又不必要条件B. “x=2”是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件C. “m0，n0,|0,b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若OM=2ON(
2、其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率为_ 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，acosB2=bsinA(1)求B；(2)若b=5，_，求S请在a=533，tan(A+4)=2+3，b2+c2=a2+bc这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并加以解答18. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=12，Sn=1-2an+1，nN*(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=log12an，且cn=14bn2-1，求数列cn的前n项和Tn19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是长方形，平面PAB平面A
3、BCD，平面PAD平面ABCD(1)证明：PA平面ABCD；(2)若PA=AD=2，AB=3，E为PD中点，求二面角A-BE-C的余弦值20. 为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表： 周末运动时间t(分钟)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)人数300600900450450300(1)从周末运动时间在70,80)的学生中抽取3人，在80,90的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自70,80)的人数为X，求X的分布列和数学期望；(2)由频率分布表可认为：
4、周末运动时间t服从正态分布N(,2)，其中为周末运动时间的平均数t-，近似为样本的标准差s，并已求得s14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在(43.9,87.7之外的人数为Y，求P(Y=2)(精确到0.001)；参考数据1：当tN(,2)时，P(-t+)=0.6826，P(-2t+2)=0.9545，P(-3tb0)的离心率为12，左、右顶点分别为A，B，上、下项点分别为C，D，四边形ACBD的面积为43(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，直线PB、QB分别交直线x=4于M，N两点，判断BMBN
5、是否为定值，并说明理由22. 已知函数f(x)=ex-alnx，(其中a为参数)(1)若a=1，且直线y=kx+1与y=f(x)的图象相切，求实数k的值；(2)若对任意x(0,+)，不等式f(x)alna成立，求正实数a的取值范围2020-2021学年下学期宣化一中高三数学期初试卷答案和解析1.【答案】B【解析】解：A=x|x-1或x2，B=x|-2x0，AB=(-2,-1故选：B可求出集合A，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】D【解析】解：由(1+i)z=2i，得z=2i1+i=2i(1-i)(1+i
6、)(1-i)=i(1-i)=1+i，z=1-i，则z在复平面内对应点的坐标为(1,-1)，位于第四象限故选：D把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，得到z在复平面内对应点的坐标得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.【答案】B【解析】解：(1+2x)5展开式的通项公式为Tr+1=C5r(2x)r，(2-x)(1+2x)5展开式中，含x2项的系数为2C52(2)2-C512=70，故选：B写出二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题4.【答案】C【解析】解：因为半径为R的圆弧，圆弧的
7、长度为2R3，所以该弧所对圆心角为2R3R=23，如图，可得AOD=3，在RtAOD中，可得AD=AOsinAOD=AO32=32R，故AB=2AD=3R，即A，B两点间的距离为3R.故选：C由题意利用弧长公式可求该弧所对圆心角，进而解三角形可求A，B两点间的距离本题考查扇形的弧长公式的应用，考查学生的计算能力，是基础题5.【答案】D【解析】解：BP=2PA，CP-CB=2(CA-CP)，CP=23CA+13CB，且|CA|=|CB|=2,=60，CP(CA+CB)=(23CA+13CB)(CA+CB)=23CA2+13CB2+CACB=2322+1322+2212=6故选：D根据BP=2PA
8、即可得出CP=23CA+13CB，然后得出CP(CA+CB)=(23CA+13CB)(CA+CB)，进行数量积的运算即可本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：设|AF|BF|=1，|BF|=m，则|AF|=m，A(1+12m,3m2)，B(1-12m,-32m)，(3m2)2=4(1+m2)(32m)2=4(1-12m)，解得=3故选：B利用抛物线的性质可以直接求解本题考查了抛物线的性质，属于基础题7.【答案】A【解析】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若a3-a2=5，则a2q-a2=5，即a2(q-1)=5，变形可
9、得a2=5q-1，a4+8a2=a2(q2+8)=5q-1(q2+8)=5q-1(q-1)2+2(q-1)+9=5(q-1)+9q-1+25(2(q-1)9q-1+2)=58=40，当且仅当q-1=3时等号成立，即a4+8a2的最小值为40；故选：A根据题意，设等比数列an的公比为q，由a3-a2=5变形可得a2=5q-1，进而可得a4+8a2=a2(q2+8)=5q-1(q2+8)=5q-1(q-1)2+2(q-2)+9，由基本不等式的性质分析可得答案本题考查基本不等式的性质，涉及等比数列的性质，属于基础题8.【答案】D【解析】解：如图，设y=xlnx，则y=lnx+1，由lnx+1=2，得
10、x=ey=xlnx斜率为2的切线l：y=2x-e，取x=e，得y=e，由2x+4e=e，得x=-32e，此时：x2=ex1=-32e，当图中平行于x轴的直线向上或向下平移时，直线被y=2x+4e(x0)与y=xlnx(x1e)所截线段变小，则对应的点的横坐标的差变小，故(|x1-x2|)max=52e故选：D由题意画出图形，求出曲线y=xlnx的斜率为2的切线，可得切点的坐标，再求出线段y=2x+4e上与切点纵坐标相同点的横坐标，作差得答案本题考查分段函数的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数形结合的解题思想，是中档题9.【答案】AB【解析】解：A.当a=-1，b=-2时，
11、ab，但是a212，但是-4b”是“a2b2”的既不充分又不必要条件，故选项A正确；B.当x=2时，1，x，4成等比数列，当1，-2，4成等比数列时，但x=-2，故“x=2”是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件，故选项B正确；C.当m0，n0时，方程x2m+y2n=1表示双曲线，当方程x2m+y2n=1表示双曲线时，mn0，n0，n0”是“方程x2m+y2n=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选项C错；D.当f(0)=0，f(x)不一定是奇函数，比如f(x)=x2，当函数f(x)为奇函数时，f(0)不一定等于0，比如f(x)=1x，故对于函数f(x)，“f(0)=0”是“函数f(x)为奇
12、函数”的既不充分又不必要条件，故选项D错故选：AB利用不等式的性质和充分条件与必要条件的定义判断选项A，利用等比数列的定义以及充分条件与必要条件的定义判断选项B，利用双曲线的标准方程以及充分条件与必要条件的定义判断选项C，利用奇函数的定义以及充分条件与必要条件的定义判断选项D本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式的性质、等比数列的定义、双曲线的标准方程、奇函数的定义，属于中档题10.【答案】AD【解析】解：由图象知34T=342=56-12，=2，由五点对应法得212+=2+2k，得=3+2k，|1，9e4-18e2+8=0，解得e=233故答案为：233取MN的中点B，则|OB|=
13、3|MB|，且ABMN，由点到直线的距离公式求得|AB|，再两次利用勾股定理推出9c4-18a2c2+8a4=0，运算后得解本题考查双曲线的几何性质，还运用了点到直线的距离公式、勾股定理，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题17.【答案】解：(1)在ABC中，因为acosB2=bsinA，所以由正弦定理得sinAcosB2=sinBsinA，因为sinA0，可得cosB2=sinB，所以cosB2=2sinB2cosB2，因为cosB20，可得sinB2=12，因为B(0,)，所以B=3(2)选：由正弦定理得533sinA=5sin3，即sinA=12，因为ba，所以A=
14、6，所以C=2，所以ABC是直角三角形，所以S=12ab=125335=2536选：由tan(A+4)=2+3，得tanA+tan41-tanAtan4=tanA+11-tanA=2+3，解得tanA=33，因为A(0,)，所以A=6，所以C=2，所以ABC是直角三角形，所以S=12ab=125335=2536选：因为b2+c2=a2+bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=12，因为A(0,)，所以A=3，又B=3，所以ABC为正三角形，所以S=2534【解析】(1)利用正弦定理，二倍角公式化简已知等式sinB2=12，结合B(0,)，可求B的值(2)选：由正弦定理可得sinA=12，结
15、合ba，可求A=6，C=2，利用三角形的面积公式即可求解选：利用两角和的正切公式化简已知等式可得tanA=33，结合A(0,)，可得A=6，C=2，利用三角形的面积公式即可求解选：利用余弦定理可求cosA的值，由于A(0,)，可得A=3，结合已知可得ABC为正三角形，利用三角形的面积公式即可求解本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形的面积公式，两角和的正切公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.【答案】解：(1)因为Sn=1-2an+1，所以Sn-1=1-2an(n2)，两式相减得2an+1=an(n2)，因为a1=12，Sn=1-2an+1，所以令
16、n=1，则可得a2=12(1-a1)=14，所以a2a1=12，又a1=120，a2=140，2an+1=an，所以an0(nN*)所以an+1an=12，(nN*)，所以数列an是首项为12、公比为12的等比数列，所以an=(12)n；(2)因为an=(12)n，所以bn=log12an=n，所以cn=14bn2-1=14n2-1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，所以Tn=c1+c2+c3+cn=12(11-13)+(13-15)+(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+119.【答案】(1)证明：四边形ABCD为长方形，ABAD，平面PAD平
17、面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，AB平面ABCDAB平面PADPA平面PAD，ABPA同理ADPA，又ABAD=A，AB平面ABCD，AD平面ABCDPA平面ABCD(2)证明：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系则A(0,0，0)，B(3,0，0)，D(0,2，0)，C(3,2，0)，E(0,1，1)，P(0,0，2)，设m=(x,y，z)，为平面ABE的法向量，mAB=0mAE=0，y+z=0x=0，令y=1，则z=-1，平面ABE的一个法向量m=(0,1，-1)同理可求得平面BCE的一个法向量n=(1,0，3)，cos=mn|m
18、|n|=-3510二面角A-BE-C的大小为钝角二面角A-BE-C的余弦值为-351020.【答案】解：(1)随机变量X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C30C22C52=110,P(X=1)=C31C21C52=35,P(X=2)=C32C20C52=310，X012P11035310所以E(X)=0110+135+2310=65(2)=t-=35300+45600+55900+65450+75450+853003000=58.5，又43.9=58.5-14.6=-，87.7=58.5+14.62=+2，所以P(43.9t87.7)=P(-+2)=1-0.8186=0.1814，所以Y
19、B(10,0.1814)，所以P(Y=2)=C1020.181420.81868450.0330.2020.30021.【答案】解：(1)由题意得ca=12a2=b2+c22ab=43，解得a=2,b=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1(2)方法1：若直线l的斜率不存在，则直线l方程为x=1，此时可得P(1,32),Q(1,-32)，M(4,-3)，N(4,3)，所以BMBN=-5若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-1)(k0)，代入x24+y23=1，整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，易得0恒成立设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，(x1,x22)，则
20、x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2，由直线PB的方程y=y1x1-2(x-2)可得点M(4,2y1x1-2)，由直线QB的方程y=y2x2-2(x-2)可得点N(4,2y2x2-2)，所以BM=(2,2y1x1-2),BN=(2,2y2x2-2)所以BMBN=4+2y1x1-22y2x2-2=4+4k2x1x2-(x1+x2)+1x1x2-2(x1+x2)+4=4+4k24k2-12-8k2+4k2+34k2-12-28k2+4(4k2+3)=4+4k2-94k2=-5综上，BMBN为定值方法2：显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，代入x24+y2
21、3=1，整理得(3m2+4)y2+6my-9=0，易得0恒成立设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，(x1,x22)，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，由直线PB的方程y=y1x1-2(x-2)可得点M(4,2y1x1-2)，由直线QB的方程y=y2x2-2(x-2)可得点N(4,2y2x2-2)，所以BM=(2,2y1x1-2),BN=(2,2y2x2-2)所以BMBN=4+2y1x1-22y2x2-2=4+4y1y2m2y1y2-m(y1+y2)+1=4+-36-9m2+6m2+3m2+4=4-9=-5BMBN为定值22.【答案】解：(1)若a=1，则f(x)=ex
22、-lnx(x0)，则f(x)=ex-1x，直线y=kx+1恒过定点(0,1)，则直线的斜率为ex0-lnx0-1x0，设切点P(x0,ex0-lnx0)，由导数几何意义可得ex0-lnx0-1x0=ex0-1x0，即(x0-1)ex0+lnx0=0，令(x)=(x-1)ex+lnx(x0)，观察得(1)=0，又(x)=xex+1x0，所以(x)在(0,+)上递增，所以方程(x0-1)ex0+lnx0=0的根仅有x0=1，所以k=e-1；(2)令g(x)=ex-alnx-alna(x0)，则g(x)=ex-ax=xex-ax，令(x)=xex-a(x0)，则(x)在0,+)上递增，且(0)=-a0，所以存在唯一x0(0,a)，使得(x0)=x0ex0-a=0，所以当x(0,x0)时，g(x)0，故函数g(x)单调递增，所以g(x)min=g(x0)=ex0-alnx0-alna=a(1x0-2lnx0-x0)由g(x)0对x(0,+)恒成立，可得a(1x0-2lnx0-x0)0，即1x0-2lnx0-x00，令h(x)=1x-2lnx-x,(x0)，则h(x)=-1x2-2x-10的解为0x1，所以0x01，令(x)=xex，x(0,1)，则(x)在(0,1)上递增，所以a=x0ex0(0,e)，所以0ae