1、徐州市县区20172018学年度第二学期期中考试高二年级数学(理)试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知复数满足： (为虚数单位)，则的虚部为 . 2.用反证法证明命题：“已知，若可被整除，则中至少有一个能被整除”时，应将结论反设为 .3.若，则的值为 .4.已知复数满足，则的值为 .5.在报名的3名男教师和5名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男女教师都有，则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示).6.已知，则的值为 .7.已知，经计算得，则对于任意有不等式 成立.8.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭
2、圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于 . 9.凸边形有条对角线，则凸边形对角线的条数为 (用和来表示).10.设，若，则展开式中系数最大的项是 .11.把53名同学分成若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成 个小组.12.将五个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有 种.(结果用数值作答)13.六个面都是平行四边形的四棱柱称为“平行六面体”.如图甲在平行四边形中，有，那么在图乙中所示的平行六面体中，若设底面边长和侧棱长分别为，则用表示等于 .14.如图，将正三角形分割成个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成个
3、边长为1的小正三角形.若，则正三角形的边长是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.(本小题满分14分)已知，是虚数单位.(1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.16.(本小题满分14分)用这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于的数.17.(本小题满分14分)已知在的展开式中，所有项的二项式系数之和为.(1)求展开式中的有理项；(2)求展开后所有项的系数的绝对值之和.18.(本小题满分16分)(1)已知，求证：；(2)若，且，求证：和中至少有一个小于2.19.(本小题满分分)将
4、正整数作如下分组:， ，.分别计算各组包含的正整数的和如下， ， (1)求的值； (2)由,的值，试猜测的结果，并用数学归纳法证明.20.(本小题满分分)已知圆有以下性质：过圆上一点的圆的切线方程是.若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为.若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段.(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)；(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值，且平分线段.徐州市县区20172018学年度第
5、二学期期中考试高二数学（理）参考答案一、填空题：1. 3； 2.都不能被5整除； 3. 3和5； 4. 10；5. 120； 6. 63； 7.； 8. ； 9. ； 10. ； 11. 9； 12. 80；13. ； 14. 12；二、解答题：15【解答】（1）， 2分解得a=1或-1， 6分（2）在复平面上对应的点在第四象限，当且仅当：，10分解得：13分所以的取值范围是14分16. 【解答】（1）先排个位，再排首位，共有AAA=144（个）4分（2）以0结尾的四位偶数有A个，以2或4结尾的四位偶数有AAA个，则共有A+ AAA=156（个）8分（3）要比3125大，4、5作千位时有2A个
6、，3作千位，2、4、5作百位时有3A个，3作千位，1作百位时有2A个，所以共有2A+3A+2A=162（个）14分17.【解答】根据题意， 2分（1）展开式的通项为. 4分于是当时，对应项为有理项，即有理项为 7分（2）展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为展开式中各项系数之和， 10分在中令x1得展开式中所有项的系数和为（12）7372 18713分所以展开式中所有项的系数和为2187. 14分18.【解答】（1）证明：法一：要证 只要证 只要证 即证 即证 即证 即证 ，显然成立，所以原不等式成立. 8分证法二：， 又 （2）证明：假设和均大于或等于2，即且因为所以且所以所以这与矛盾.所以
7、和中至少有一个小于2. 16分19. 【解答】(1)2分(2) 3分猜测=5分证明如下：记,当n=1时，猜想成立。设当n=k时，命题成立，即.7分下面证明当n=k+1时，猜想也成立.事实上，有题设可知.所以10分所以从而，14分所以猜想在n=k+1时也成立。综合（1）（2）可知猜想对任何.16分20.【解答】（1）过椭圆上一点的切线方程是2分（2）设由（1）可知，过椭圆上点的切线的方程是过椭圆上点的切线的方程是4分因为都过点，则，则过两点的直线方程是8分（3）由（2）知，过两点的直线方程是为定值. 10分设设为线段的中点，则坐标为因为均在椭圆上，故，可得即所以，12分又所以，又，所以14分所以三点共线.所以平分线段16分