1、第一部分 自习篇 主题二 复数、平面向量1复数 掌握 2 类复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类项，不含 i 的看作另一类项，分别合并同类项即可如 T2.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”如 T1.D 由 z(1i)2i，得 z 2i1i2i1i1i1i2i1i2i(1i)1i.故选 D.1(2019全国卷)若 z(1i)2i，则 z()A1i B1iC1i D1iB 因为(ai)(12i)
2、a2(2a1)i，且由题知其为纯虚数，所以a20，2a10，解得 a2，故选 B.2(2019西安质量检测)设 i 是虚数单位，复数(ai)(12i)为纯虚数，则实数 a 为()A2 B2C12D.12A 因为3iz 1i，所以 z3i1i3i1i1i1i24i212i，z 的共轭复数为 12i，故选 A.3(2019长沙模拟)已知 i 是虚数单位，若3iz 1i，则 z 的共轭复数为()A12i B24iC.22 2i D12iC z 3i12i 3i12i12i12i17i5，|z|152752 2.故选 C.4(2019全国卷)设 z 3i12i，则|z|()A2 B.3C.2 D15(
3、2019郑州第一次质量检测)在复平面内表示复数imi(mR，i 为虚数单位)的点位于第二象限，则实数 m 的取值范围是()A(，1)B(，0)C(0，)D(1，)C 由题意，imiimim21 1m21mm21i，因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限，所以1m210，mm210，解得 m0，即 m(0，)，故选 C.2平面向量的线性运算 解决平面向量问题的 3 种常用方法(1)直接法求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解这种解题思路，我们不妨称之为按“图”处理如 T1，T2.(2)建系法：处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活
4、建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性如 T3.(3)基底法：求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解理论依据：适当选取一组基底 e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于 e1，e2的代数运算问题如 T5.1一题多解在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB14AC B.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC A 法一：(直接法)作出示意图如图所示 EBED DB 12AD 12CB1212(ABAC)12(ABAC)34AB14A
5、C.故选 A.法二：(建系法)不妨设ABC 为等腰直角三角形，且A2，ABAC1.建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D12，12，E14，14.故AB(1,0)，AC(0,1)，EB(1,0)14，14 34，14，即EB34AB14AC.C 因为PAPBPCAB，所以PAPBPCPBPA，所以PC2PA2AP，即 P 是 AC 边的一个三等分点，且 PC23AC，由三角形的面积公式可知，SPBCSABCPCAC23.2ABC 所在的平面内有一点 P，满足PAPBPCAB，则PBC 与ABC 的面积之比是()A.13 B.12 C.23 D.343一题
6、多解(2019太原模拟)如图，在正方形 ABCD 中，M，N分别是 BC，CD 的中点，若ACAM BN，则()A2 B.83C.65D.85D 法一：以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为 1，则AM 1，12，BN12，1，AC(1,1)ACAM BN12，2，121，121，解得65，25，85，故选 D.法二：由AM AB12AD，BN12ABAD，得ACAM BN2 AB2 AD，又ACABAD，121，21，解得65，25，85，故选 D.6 a2b(3,32k)，3ab(5,9k)，由题意可得3(9k)5(32k)，解得 k
7、6.4(2019贵阳监测)已知向量 a(1,3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)，则实数 k_.5一题多解在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若 c 与 xayb(x，y 为非零实数)共线，则xy的值为_65 法一：设 e1，e2 分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由 c 与 xayb 共线，得 c(xayb)，所以 e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以2xy1，x2y2，所以x3，y 52，则xy的值为65.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则 a(2,1)，b(
8、2，2)，c(1，2)，因为 c 与 xayb(x，y 为非零实数)共线，则 c(xayb)，其中 0，即12x2y，2x2y，解得x3，y 52，xy65.3平面向量的数量积 两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线，如 T3.D 法一：因为 cos AACAB，所以ABAC|AB|AC|cos AAC216，选 D.法二：AB在AC上的投影为|AB|cos A|AC|，故ABAC|AC|AB|cos AAC216，故选 D.1一题多解在 RtABC 中，C90，AC
9、4，则ABAC()A16 B8 C8 D162(2019全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56B 设 a 与 b 的夹角为，(ab)b，(ab)b0，即 ab|b|20.又 ab|a|b|cos，|a|2|b|，2|b|2cos|b|20，cos 12.又 0，3.故选 B.A 因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0 且 a，b 不共线，即210 且20，故 的取值范围是12，2(2，)3已知向量 a(2，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是()A.12，2(2，)B(2，
10、)C.12，D.，12A 由题意得，e211，e221，e1e212，ab(e12e2)(2e13e2)2e21e1e26e22212692，|a|e12e22 e214e1e24e22124 3，b 在 a 方向上的投影为|b|cosa，bab|a|923 3 32.故选 A.4(2019济南模拟)设单位向量 e1，e2 的夹角为23，ae12e2，b2e13e2，则 b 在 a 方向上的投影为()A3 32B2 33 C.2 33 D.3 325一题多解已知ABC 为等边三角形，AB2，设点 P，Q 满足APAB，AQ(1)AC，R，若BQ CP32，则()A.12B.1 22C.1 10
11、2D.32 22A 法一(向量法)：BQ AQ AB(1)ACAB，CPAPACABAC，又BQ CP32，|AB|AC|2，AB，AC60，ABAC|AB|AC|cos 602，(1)ACAB(ABAC)32，即|AB|2(21)ABAC(1)|AC|232，所以 42(21)4(1)32，解得 12.法二(坐标法)：以点 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，过点A 且垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，设 A(0,0)，B(2,0)，C(1，3)，AB(2,0)，AC(1，3)，P(2，0)，Q(1，3(1)，BQ CP32，(1，3(1)(21，3)32，化简得 42410，12.3 3|a|1，a 与 b 的夹角为6，ab 32|b|.由已知得，|2ab|24|a|2|b|24ab13，|b|22 3|b|90，|b|3 3.6(2019郑州模拟)已知向量 a 与 b 的夹角为6，|a|1，|2ab|13，则|b|_.Thank you for watching!
