1、数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）1. 设，则z的虚部是A. 2B. C. 2D. 12. 曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 3. 已知且，函数在R上单调递增，那么实数a的取值范围是A. B. C. D. 4. 若的定义域是，则函数的定义域是A. B. C. D. 5.A. B. C. D. 6. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形即图中阴影部分，构成树叶状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D. 7. 用数学归纳法证明，则当时左端应在
2、的基础上A. 增加一项B. 增加项C. 增加2k项D. 增加8. 已知函数是定义在上的奇函数若，则的值为A. 1B. 2C. 3D. 09. 函数的值域为A. B. C. D. 10. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11. 在上单调递减，则b的取值范围是A. B. C. D. 12. 在由直线，和x轴围成的三角形内任取一点，记事件A为，B为，则A. B.
3、 C. D. 13. 重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉据统计，奉节脐橙的果实横径单位：服从正态分布，则果实横径在的概率为附：若，则，；A. B. C. D. 14. 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望和方差分别为A. 和B. 和C. 和D. 和15. 若，则解集为A. B. C. D. 16. 已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.
4、0分）17. 若，且，则_18. 1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币年版，第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成_种币值用数字作答19. 已知是定义在R上的偶函数，且若当时，则_20. 已知实数a，b满足，函数，则y的取值范围是_三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）21. 已知数列的前n项和为，且，数列满足，求的通项公式；设，求数列的前n项和22. 由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享
5、他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为非常满意满意合计A3015_ Bxy_ 合计_ _ _ 现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的A、B地区的人数各是多少完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系附：参考公式：若以抽样调查的频率为概率，从A地区随
6、机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望23. 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；已知曲线C的参数方程为，为参数，直线l与C交于M，N两点，求的值24. 已知函数，求函数的极值点；已知为函数，的公共点，且函数，在点T处的切线相同，求a的值数学试卷答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，的虚部是故选：B2.【答案】B【解
7、析】【分析】先求出函数的导函数，然后求出在处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题【解答】解：，切点为曲线在点切线方程为，即故选B3.【答案】D【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，属于基础题利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可【解答】解：且，函数在R上单调递增，可得解得故选D4.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合中交集的运算，考查函数定义域，属于基础题利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可【解答】解：函数的定义域是，所以，解
8、得，所以函数的定义域为故选：B5.【答案】A【解析】解：，令，两边平方得，则有，所以，函数在上的图象是圆的上半部分，所以，所以，故选：A对函数，确定该函数在上的图象，利用几何法求出定积分的值，然后利用定积分的性质可求出答案本题考查定积分的计算，考查计算能力与转化能力，属于基础题6.【答案】B【解析】【分析】本题考查几何概型的概率的求法，求解阴影部分面积是关键，是中档题根据题意，12片树叶是由24个相同的弓形组成，计算弓形的面积，利用几何概率的计算公式求解即可【解答】解：设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为所求的概率为故选：B7.【答案】D【解析】【
9、分析】本题主要考查数学归纳法相关知识，属于基础题数学归纳法证明时，当时左端应在的基础上加上的式子，可以分别使得，和代入等式，然后把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案【解答】解：当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项增加的项数：故选D8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合定义域关于原点对称，建立方程关系是解决本题的关键根据奇函数的定义域关于原点对称，求出b，利用，求出a即可【解答】解：是奇函数，定义域关于原点对称，则，得，得，则，得，得，则，故选C9.【答案】A【解析】【分析】本小题主要考查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力属于基
10、础题先设，将原根式函数的值域问题转化为二次函数的值域问题解决即可【解答】解：设，则原函数可化为又，故，的值域为故选A10.【答案】B【解析】解：当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解本题考查了阅读能力及简单的合
11、情推理，属中档题11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0，是中档题求出原函数的定义域，要使原函数在内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围【解答】解：由，得，所以函数的定义域为，再由，得：，要使函数在内是单调减函数，则在上恒小于等于0，因为，令，则
12、在上恒大于等于0，函数开口向上，且对称轴为，所以只有当，即时，恒成立，所以，使函数在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是故选C12.【答案】D【解析】解：设表示A和B同时发生所构成区域的面积，表示事件A发生构成区域的面积根据条件概率的概率计算公式故选：D根据可得，其中表示A和B同时发生所构成区域的面积，表示事件A发生构成区域的面积本题考查了几何概型，条件概率，定积分等知识，属于中档题13.【答案】C【解析】解：由题意，则，则果实横径在的概率为故选：C由已知可得，再由得答案本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题14.【答案】A【
13、解析】解：设事件A在每次试验中发生的概率为P，则，解得，故选：A根据题意可得根据事件A至少发生一次的概率为，可得再根据公式可得期望与方差本题考查了二项分布得期望与方差，属中档题15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【解答】解：，则函数为偶函数，时，所以在上单调递增，当，为增函数，则不等式等价为，即，即，平方得，得，得，即不等式的解集为，故选A16.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于基础题
14、令，求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为，根据函数的单调性求出x的范围即可【解答】解：令，则，故在递增，而，由，得，故，解得：，故选C17.【答案】11【解析】解：，故答案为：11根据条件中所给的二项式定理的展开式，写出a和b的值，根据这两个数字的比值，写出关于n的等式，即方程，解方程就可以求出n的值本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，是一个基础题，解题的关键是写正确要用的a和b的值18.【答案】63【解析】解：第一类，选1种面额，有6种，第二类，选2种面额，有种，第三类，选3种面额，有种，第四类，选4种面额，有种，第五类，选5种面额，有种，第六类，选6种面额，
15、有种，根据分类计数原理可得种，故答案为：63由题意分6类，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，属于基础题19.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题由题意可知：，函数的周期性可知：周期为6，则，由为偶函数，则，即可求得答案【解答】解：由，则，为周期为6的周期函数，由是定义在R上的偶函数，则，当时，故答案为620.【答案】【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，函数的单调性与函数的值域，考查计算能力利用已知条件求出a、b的值，代入函数的表达式，利用函数的单调性求解y的范围即可【解答】解：实数a，b满足，函数，函数是增函数，即故答案为：
16、21.【答案】解：当时，时，得：是以为首项，2为公比的等比数列，为公差为2的等差数列，又，【解析】由得是以为首项，2为公比的等比数列，从而得的通项公式；由与得为公差为2的等差数列，得，又，得，从而得本题考查了等差数列与等比数列的推导，通项公式的应用，裂项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.【答案】45 55 65 35 100【解析】解：由题意，得：，解得，地抽取人，B地抽取人完成表格如下：非常满意满意合计A301545B352055合计6535100，没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取3人，X的可能取值为0，
17、1，2，3，的分布列为：X0123P由题意，得：，求出，由此能求出A地抽取的人数和B地抽取的人数完成表格，求出，从而没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取3人，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和本题考查频数的求法，考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23.【答案】解：点，；由，得于是l的直角坐标方程为l：，l的参数方程为：；由C：，消去参数，得，将l的参数方程代入，得，设该方程的两根为，由直线l的参数t的几
18、何意义及曲线C知，【解析】把点A的坐标代入直线l求得a值，代入直线l的极坐标方程，展开两角差的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式得直线l的直角坐标方程，进一步化为参数方程；求出曲线C的直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题24.【答案】解：，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故当为函数取得极小值点，没有极大值点；由题意可得，为函数，的公共点函数，在点T处的切线相同，且，又，显然，所以，满足该方程且单调递增，所以，【解析】先对含求导，然后结合导数与单调性的关系先求出函数的单调性，进而可判断极值点的存在情况，由题意可得且，联立后结合函数的单调性即可求解本题主要考查了函数的导数与单调性，极值关系的应用，还考查了逻辑推理及运算的能力
