1、河北省张家口市宣化第一中学2020-2021学年高二数学上学期第三次周考试题一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）1. 若实数x，y满足，则的取值范围是_ 2. 当实数x，y满足时，恒成立，则实数a的取值范围是_3. 设函数，若，则实数a的取值范围是_4. 不等式的解集为_5. 若关于x的不等式的解集为，则_6. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是_7. 若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_8. 不等式的解集为_9. 已知实数a，b，c满足，则a的最大值是_ 10. 设a，b，m，且，则的最小值为_ 11. 对于，当非零实数a，b满足且使最大时，的最小值为
2、_ 12. 若对任意，恒成立，则a的取值范围是_13. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为_14. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_15. 若关于x的不等式的解集中整数解恰有3个，则实数a的取值范围是_16. 若，且当时，恒有，则以a、b为坐标的点所形成的平面区域的面积等于_二、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数，记的解集为M，的解集为N求M；当时，证明：18. 设函数证明：；若，求a的取值范围19. 若，且求的最小值；是否存在a，b，使得？并说明理由20. 已知，证明21. 解不等式；设正数a，
3、b，c满足，求证：，并给出等号成立条件答案1.【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，为，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，即代入目标函数得故故答案为：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法2.【答案】【解析】【分析】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组的解法，是中档题由约束条件作出可行域，再由恒成立，结合
4、可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围【解答】解：由约束条件作可行域如图：联立，解得联立，解得在中取得要使恒成立，则，解得：实数a的取值范围是3.【答案】【解析】解：函数，它的图象如图所示：由，可得由，可得，解得，故当时，则实数a的取值范围是；故答案为：画出函数的图象，由，可得，数形结合求得实数a的取值范围本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，关键得到结合图形得到a的范围，体现了数形结合的数学思想，属于中档题4.【答案】【解析】解：由于表示数轴上的x对应点到1和的距离之和，而和2对应点到1和的距离之和正好等于5，故不等式的解集为，故答案为由于表示
5、数轴上的x对应点到1和的距离之和，而和2对应点到1和的距离之和正好等于5，由此求得所求不等式的解集本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题5.【答案】【解析】解：关于x的不等式的解集为，和是的两个根，故答案为：由题意可得和是的两个根，故有，由此求得a的值本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题6.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围【解答】解：二次函数的图象开口向上，对于任意，都有成立，即，解得，故答案为：7.【答案】【解析】解：，时，的最小值为，不等式
6、对任意实数x恒成立，实数a的取值范围是故答案为：利用绝对值的几何意义，确定的最小值，然后让小于等于它的最小值即可本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题8.【答案】【解析】解：时，解得，时，无解，时，解得，综上，不等式的解集是，故答案为：通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题9.【答案】【解析】【分析】本题考查了基本不等式，解决本题的关键是能熟练地利用基本不等式利用基本不等式易得，由得到有关a的不等式后确定a的取值范围即可【解答】解：，当且仅当时取等号，即，的最大值是故答案为10.【答案】【解析
7、】解：由柯西不等式得， ， 的最小值为 故答案为： 根据柯西不等式当且仅当取等号，问题即可解决本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题11.【答案】【解析】解：， 由柯西不等式得， 故当最大时，有 ，当时，取得最小值为故答案为： 首先把：，转化为，再由柯西不等式得到，分别用b表示a，c，在代入到得到关于b的二次函数，求出最小值即可本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题12.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，不等式恒成立问题，属于基础题根据，代入中求得的最大值为，进而a的范围可得【解答】解：，当且仅当时取等号，即的最大值为，因为对
8、任意，恒成立，所以，故答案为13.【答案】【解析】【分析】本题考查二元一次不等式组与其平面区域及直线方程的斜截式先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是，动直线即在y轴上的截距从变化到1知是斜边为3的等腰直角三角形，是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积故答案为14.【答案】8【解析】解：恒过定点；又点A在直线上；的最小值为8故答案为：8可看出的图象过定点，从而可据题意得出，再根据，从而得出，而由基本不等式可得出，从而得出，即得出的最小值为8考查1的对数等于0，直线上的点的坐标和直线方程的关系，利用基本
9、不等式求最值的方法15.【答案】【解析】解：由题知，则即为即，即，由于，而不等式的解答中恰有3个整数解，故必有，即必有，所以不等式可变为，解得，又，结合解集中恰有两个整数，即为1，2，3可得，解得所以a的取值范围为故答案为：由题意，原不等式转化为，得到a的解集，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到a的不等式，解不等式可得a的范围本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力16.【答案】1【解析】解：令，恒成立，即函数在可行域要求的条件下，恒成立当直线过点或点时，点形成的图形是边长为1的正方形所求的面积故答案为：1先依据不等式组，结合二元一次不等式组与平面
10、区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解17.【答案】解：由可得，或解求得，解求得综上，原不等式的解集为证明：由，求得，当时，故要证的不等式成立【解析】由所给的不等式可得，或，分别求得、的解集，再取并集，即得所求由，求得N，可得当时，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证本题主要考查绝对值不等式的
11、解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题18.【答案】解：证明：，故不等式成立，当时，不等式即，即，解得当时，不等式即，即，求得综上可得，a的取值范围【解析】由，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得成立由，分当时和当时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题19.【答案】解：，且，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，的最小值为，当且仅当时，取等号而由可知，故不存在a，b，使得成立【解析】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题由条
12、件利用基本不等式求得，再利用基本不等式求得的最小值根据及基本不等式求得，从而可得不存在a，b，使得20.【答案】证明：由均值不等式可得，分别当且仅当，时等号成立，两式相乘可得【解析】由均值不等式可得，两式相乘可得结论本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键21.【答案】解：由不等式可得或，或解求得，解求得，解求得，综上可得，原不等式的解集为或证明：正数a，b，c满足，再由柯西不等式可得，当且仅当、时，取等号，故成立【解析】把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求先由题意证得，再由柯西不等式证得所给的不等式成立本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解还考查了柯西不等式的应用，属于中档题