1、第7节 空间向量与线面位置关系考试要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会用向量方法证明直线、平面的位置关系；2.了解向量法求点到面的距离.知 识 梳 理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合).(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l.(3)设直线l的方
2、向向量为v，平面的法向量为u，则l或l.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则.v1v2存在两个实数x，y，使vxv1yv2vuu1u23.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则.u1u2 u1u20 如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.|ABn|n|4.点面距的求法 常用结论与易错提醒 1.直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，且v1v2，若l1，l2有公共点，则l1，l2重合；若l1
3、，l2没有公共点，则l1l2.2.直线l的方向向量v与平面内不共线的向量a，b满足vab，若直线l与无公共点，则l，若直线l与有公共点，则l.3.直线l的方向向量v与平面的法向量u垂直，若直线l与平面有公共点，则l，若直线l与平面无公共点，则l.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)两直线的方向向量平行，则两直线平行.()(2)如果一条直线的方向向量与平面内一直线的方向向量共线，则这条直线与该平面平行.()(3)如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与该平面平行.()(4)一条直线的方向向量有无穷多个，平面的法向量也有无穷多个.()解析(1)不正确，两直线也可能重合；(2
4、)不正确，直线也可能在平面内；(3)不正确，直线也可能在平面内.答案(1)(2)(3)(4)2.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是()A.(1，1，1)B.(1，1，1)C.33，33，33D.33，33，33解析 设平面 ABC 的法向量 n(x，y，z)，AB(1，1，0)，AC(1，0，1)，由nAB0，nAC0，得xy0，xz0，xyz.故选 C.答案 C 3.已知平面 的法向量为 n(2，2，4)，AB(1，1，2)，则直线 AB 与平面 的位置关系为()A.ABB.ABC.AB 与 相交但不垂直D.AB解析 由题意易得
5、n2AB，所以向量AB也为平面 的一个法向量，则直线AB 与平面 垂直，故选 A.答案 A 4.平面的法向量u(2，2，2)，平面的法向量v(1，2，1)，则下列命题正确的是()A.，平行 B.，垂直 C.，重合 D.，不垂直 解析 平面的法向量与平面的法向量的数量积为uv21(2)2210，平面，垂直，故选B.答案 B 5.设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.解析 当v(3，2，2)时，由于uv0，即uv，；当v(4，4，10)时，由于v2u0，.答案 6.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n(
6、2，2，4)，若a(1，1，2)，则直线l与平面的位置关系为_；若a(1，1，1)，则直线l与平面的位置关系为_.解析 当 a(1，1，2)时，a12n，则 l；当 a(1，1，1)时，an(1，1，1)(2，2，4)0，则 l 或 l.答案 l l或l【例1】如图所示，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.考点一 用空间向量证平行问题 证明 因为平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的
7、空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).所以PB(2，0，2)，FE(0，1，0)，FG(1，1，1)，设PBsFEtFG，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，所以t2，ts0，t2，解得 st2，所以PB2FE2FG，又因为FE与FG 不共线，所以PB，FE与FG 共面.因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.规律方法(1)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线
8、的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.(2)能建坐标系时，尽量建立坐标系.【训练1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接 BG，则EG EBBG EB12(BCBD)EBBFEH EFEH，又EF与EH 不共线，由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面.(2)因为EH AH AE12AD 12AB12(AD AB)12BD，因为 E，H，B，D 四点不共线，所以 EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EF
9、GH，所以BD平面EFGH.考点二 用空间向量证垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设 CD1，则 ABBC2，PO 3.A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，3).BD(2，1，0)，PA(1，2
10、，3).BD PA(2)1(1)(2)0(3)0，PABD，PABD.(2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M12，1，32.DM 32，0，32，PB(1，0，3)，DM PB32100 32(3)0，DM PB，即 DMPB.DM PA3210(2)32(3)0，DM PA，即 DMPA.又PAPBP，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.规律方法 用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，
11、或将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练2】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长.(1)证明 设ABp，ACq，AD r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为 60.MN ANAM 12(ACAD)12AB12(qrp)，MN AB12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.MN AB，即 MNAB.同理可证 MNCD.(2)解 由(1)可知MN 12(qrp)，|MN|214(qrp)214q2r2p22(qrpqrp)1
12、4a2a2a22a22 a22 a22142a2a22.|MN|22 a.MN 的长为 22 a.考点三 利用空间向量求解探索性问题【例 3】如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 ABE底面 ABCD，侧面 AEB 为等腰直角三角形，AEB2，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，ABBC，AB2CD2BC.线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由.解 存在点 F，且EFEA13时，有 EC平面 FBD.证明如下：取 AB 中点 O 为坐标原点，OB，OD，OE 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设 CD1，则 E(0，0，
13、1)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以EA(1，0，1)，BD(1，1，0)，EC(1，1，1).由EF13EA13，0，13，得 F13，0，23，所以FB43，0，23.设平面FBD的法向量为v(a，b，c)，则vBD 0，vFB0，所以ab0，43a23c0，取a1，得v(1，1，2)，因为ECv(1，1，1)(1，1，2)0，且 EC平面 FBD，所以 EC平面 FBD，即当点 F 满足EFEA13时，有 EC平面 FBD.规律方法 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.解
14、题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.【训练3】在四棱锥PABCD中，ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，DAB90，ADBC，E是线段AB的中点，PE底面ABCD，已知DAAB2BC2.试在平面PCD上找一点M，使得EM平面PCD.解 因为PE底面ABCD，过E作ESBC，则ESAB，以E为坐标原点，EB方向为x轴的正半轴，ES方向为y轴的正半轴，EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则 E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(1，0，0)，D(1，2，0)，P(0，0，3)，CD(2，1，0)，PC(1，1，3).则nCD 2xy0，nPCxy 3z0，令 x1，得 n(1，2，3).设M点的坐标为(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为n(x，y，z)，因为 EM平面 PCD，所以EM n，即x11y12 z13，也即 y12x1，z1 3x1，又PM(x1，y1，z1 3)，PD(1，2，3)，PC(1，1，3)，所以PM PCPD(，2，3 3)，所以得 x1，y122x12()，即 4，z1 3 3 3，12，所以 18，所以 M 点的坐标为38，34，3 38.