1、知识系统整合规律方法收藏1随机事件在现实世界中是广泛存在的，要注意结合生活实例，分析何为必然事件、不可能事件和随机事件，要充分理解概率的意义，并学会解释生活中的一些常见的概率问题，把自己所学的概率知识应用到实际生活中去(1)对随机事件的理解应包括的两个方面随机事件是指一定条件下出现的某种结果，即随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件在相同的条件下进行研究；随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事件的发生是有规律的(2)频率与概率的联系与区别随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，但随着试验次数的不断增加
2、，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫作这个事件的概率概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小在大量重复试验的前提下，可以用频率来估计这个事件的概率(3)要辩证地看待“随机事件”“不可能事件”“必然事件”一个随机事件的发生，既有随机性(对某次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性与必然性的对立统一(4)对概率的统计定义应注意的几点求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验进行估计；只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件的概率；概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；概率反映了随机事件发生的可能性的大小(5)互斥事件与
3、对立事件的区别与联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不能同时发生外，还要求二者必须有一个发生因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况2应用互斥事件的概率的加法公式时，要注意首先确定诸事件彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式 P(A)1P(A)求解3对于古典概型概率的计算，关键是分清样本点总数 n 与事件中包含的样本点数 m，有时需用列举法把样本点一一列举出来，再利用公式 P(A)kn求出事件的概率这是一
4、个形象、直观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏4利用相互独立事件的定义(即 P(AB)P(A)P(B)可以判定两个事件是否相互独立，这是用定量方法进行分析的定量计算，可以较为准确、果断地判断两个事件是否相互独立因此我们必须熟练掌握这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间有一定的关系，也就是若两个事件相互独立，则一定不能互斥(对立)；反之，若两个事件互斥(对立)，则不能相互独立5本章用到较多的是化归思想，而化归思想是数学中最基本的思想方法之一，在数学研究和学习中有着广泛的应用，化归的核心是把一个生疏复杂的问题转化为熟悉的问题学科思想培优事件间的运算事件间的运算包含互斥事件的概率加
5、法、对立事件的概率加法，要时刻结合 Venn 图用集合的思想理解其中不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空在互斥的基础上必有一个发生的是对立事件，互为对立的两个事件概率之和为 1.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的关键其中互斥事件的概率加法公式可以推广到有限个事件，即如果事件 A1，A2，An 是两两互斥关系，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)典例 1 如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，现随机抽取 100位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)1020 2030 3040 4050 5060选择 L1 的
6、人数612181212选择 L2 的人数0416164(1)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率；(2)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解(1)选择 L1 的有 60 人，选择 L2 的有 40 人，故由调查结果得频率为：所用时间(分钟)10202030304040505060L1 的频率0.10.20.30.20.2L2 的频率00.10.40.40.1(2)设 A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶到火车站；B1，B2 分
7、别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内赶到火车站答案 由(1)，知 P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，因为 P(A1)P(A2)，所以甲应选择路径 L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，因为 P(B2)P(B1)，所以乙应选择路径 L2.答案 古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础在高考题中，经常出现此种概型的题目用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的基本事件是否是等可能的，同时要弄清事件 A 所包含的等可能出现的结果(基本事件)的个数典例 2 在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送
8、钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有 3 个黄色、3 个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出 3 个球，若摸得同一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱；若摸得非同一颜色的 3 个球，摸球者付给摊主 1 元钱(1)求摸出的 3 个球都为白球的概率；(2)求摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率；(3)假定一天中有 100 人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计)能赚多少钱解 把 3 个黄色乒乓球分别标记为 A，B，C,3 个白色乒乓球分别标记为1,2,3.从 6 个球中随机摸出 3 个球的样本空间
9、ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，A12，A13，A23，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123，共 20 个样本点，这 20 个样本点发生的可能性是相等的答案(1)设事件 E摸出的 3 个球都为白球，则事件 E 包含的样本点有 1 个，即摸出 123，则 P(E)1200.05.(2)设事件 F摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球，则事件 F 包含的样本点有 9 个，P(F)9200.45.(3)设事件 G摸出的 3 个球为同一颜色摸出的 3 个球都为白球或摸出的 3 个球都为黄球，则事件 G 包含的样本点有 2 个，故 P
10、(G)2200.1.答案 假定一天中有 100 人参与摸球游戏，由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送给摸球者 5 元钱”发生 10 次，事件“摸球者付给摊主 1元钱”发生 90 次，故可估计该摊主一天可赚 90110540(元)，每月可赚 1200 元答案 (1)解决古典概型的关键问题是分析样本点总数和某事件所包含的样本点数，通常用列举法或树状图表达(2)当含有“至多”“至少”“不含”等词语时，从正面突破比较困难时，可以考虑反面，即对立事件事件的相互独立性判断事件是否相互独立的方法有：(1)定义法：事件 A，B 相互独立P(AB)P(A)P(B)(2)直接法：由事件本身的性质直
11、接判定两个事件发生是否相互影响典例 3 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了 2 个问题后最终被淘汰的概率解 设“该选手能正确回答第 i 轮的问题”为事件 Ai(i1,2,3,4)，则 P(A1)0.6，P(A2)0.4，P(A3)0.5，P(A4)0.2.(1)解法一：该选手被淘汰的概率为答案 P P(A1 A1 A2 A1A2 A3 A1A2A3 A4)P(A1)P(
12、A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.40.60.60.60.40.50.60.40.50.80.976.解 法 二：P 1 P(A1A2A3A4)1 P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)1 0.60.40.50.210.0240.976.答案 (2)解法一：所求概率 PP(A1 A2A1A2 A3A1A2A3 A4)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.60.6 0.60.40.5 0.60.40.50.80.576.解 法 二：所 求 概 率 P 1 P(A1)P(A1A2A3A
13、4)1 (1 0.6)0.60.40.50.20.576.答案 频率与概率依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率频率的计算公式为 fn(A)nAn，其中 nA 是事件 A 出现的频数，n 为重复试验次数典例 4 下表分别表示从甲、乙两厂随机抽取的某批乒乓球的质量检查情况甲厂抽取的乒乓球的质量检查情况抽取球数 n5010020050010002000优等品数 m45921944709541902优等品频率mn乙厂抽取的乒乓球的质量检查情况抽取球数 n70130 310 700 1500 2000优等品数 m60116 282 639 1339 1806优等品频率mn(1)分别计算两个表中
14、乒乓球优等品的频率(结果保留到小数点后第三位)；(2)从甲、乙两厂分别抽取一个乒乓球，质检结果为优等品的概率分别是多少？(3)若甲、乙两厂的乒乓球价格相同，你打算从哪个厂家购货？解(1)表中甲厂优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951；表中乙厂优等品的频率依次为 0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.(2)由(1)可知，抽取的球数不同，计算得到的频率值也不同，因为表中甲厂的频率在常数 0.95 的附近波动，所以从甲厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为 0.95；因为表中乙厂的频率在常数 0.90 的附近波动，所以在乙厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为 0.90.(3)因为概率反映了一个事件发生的可能性的大小，P 甲P 乙表示甲厂生产优等乒乓球的可能性更大，因此应选购甲厂生产的乒乓球答案