1、第6节 空间向量及其运算考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示；3.了解空间向量的数量积及其坐标表示；4.掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量的夹角.知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 ab 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 ab 共面向量 平行于同一个平面的向量 02.空间向量中的有关定理
2、(1)共线向量定理 空间两个向量a(a0)与b共线的充要条件是存在实数，使得.推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是OP OA ta 其中 a 叫直线 l 的方向向量，tR，在 l 上取ABa，则可化为OP OA tAB或OP.ba(1t)OA tOB(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p，其中 x，yR，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP xMA yMB 或对空间任意一点 O，有OP OM xMA yMB 或OP，其中 xyz.(3)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1，2，3，使得 a，空间中
3、不共面的三个向量 e1，e2，e3 叫作这个空间的一个基底.xaybxOM yOA zOB11e12e23e33.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b，其范围是，若a，b2，则称 a与 b 互相垂直，记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab.0，|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.(ab)
4、4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积ab共线ab(b0，R)垂直ab0(a0，b0)模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23 a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30a21a22a235.空间两点间的距离公式空间中点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|（x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2.常用结论与易错提醒1.ab0a0 或 b0 或a，b2.2.ab0 不等价为a，b为锐角，因为
5、a，b可能为 0.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.()(4)若ab0，则a，b是钝角.()解析 对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是
6、()A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 解析 由题意得AB(3，3，3)，CD(1，1，1)，AB3CD，AB与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点.ABCD.答案 B 3.(选修 21P97A2 改编)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与B1D1 的交点.若ABa，AD b，AA1c，则下列向量中与BM 相等的向量是()A.12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD.12a12bc答案 A 解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM BB1B1M AA112(AD AB)c12(ba)12a12bc.4.(2017上海卷)
7、如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1 的坐标为(4，3，2)，则AC1 的坐标为_.解析 A(4，0，0)，C1(0，3，2)，AC1(4，3，2).答案(4，3，2)5.已知 O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP 34OA 18OB tOC，若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t_.解析 P，A，B，C 四点共面，3418t1，t18.答案 186.已知i，j，k为两两垂直的单位向量，非零向量aa1ia2ja3k(a1，a2，a3R)，若向量a与向量i，j，k的夹角分别为，则cos
8、2cos2cos2_.解析 设 i，j，k 为长方体的共顶点的三条棱的方向向量，因非零向量 aa1ia2ja3k(a1，a2，a3R)，故 a 可为长方体体对角线的方向向量，则 xEA，yEA，zEA，所以 cos cosxEAcosCAEACAE，cos cosyEAcosDAEADAE，cos coszEA cosEAB ABAE，cos2 cos2 cos2 AB2AC2AD2AE2AE2AE21.答案 1 考点一 空间向量的线性运算【例 1】如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1
9、的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)MP NC1.解(1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1ac12ABac12b.(2)因为 M 是 AA1 的中点，所以MP MA AP12A1A AP12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA112AD AA1 12ca，所以MP NC1 12a12bc a12c32a12b32c.规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角
10、形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒 空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算.【训练 1】如图，三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设OA a，OB b，OC c，用 a，b，c 表示NM，则NM()A.12(abc)B.12(abc)C.12(abc)D.12(abc)解析 NM NAAM(OA ON)12ABOA 12OC 12(OB OA)12OA 12OB 12OC12(abc).答案 B 考点二 共线定理、共面定
11、理的应用【例 2】已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 13(OA OB OC).(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.解(1)由题意知OA OB OC 3OM，所以OA OM(OM OB)(OM OC)，即MA BM CM MB MC，所以MA，MB，MC 共面.所以M，A，B，C四点共面.从而点M在平面ABC内.(2)由(1)知MA，MB，MC 共面且过同一点 M，规律方法(1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法PAPB(R)；对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1).(2)证明空间四点
12、 P，M，A，B 共面的方法MP xMA yMB；对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)；PM AB(或PAMB 或PBAM).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练2】(1)若A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则mn_.(2)已知空间四点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，D(1，2，t)，若四点共面，则t的值为_.解析(1)AB(3，1，1)，AC(m1，n2，2).A，B，C 三点共线，ABAC，m13n21 21，m7，n4，mn3.(2)AB(1，1，
13、0)，AC(1，0，2)，AD(3，2，t2)，A，B，C，D 四点共面，AB，AC，AD 共面.设AD xAByAC，即(3，2，t2)(xy，x，2y)，则xy3，x2，2yt2，解得x2，y1，t0.t 的值为 0.答案(1)3(2)0 考点三 空间向量数量积及其应用【例 3】如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.(1)求 AC1 的长；(2)求BD1 与AC夹角的余弦值.(1)求 AC1 的长；(2)求BD1 与AC夹角的余弦值.解(1)记ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所
14、以 abbcca12.|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11121212126，所以|AC1|6，即 AC1 的长为 6.(2)BD1 bca，ACab，所以|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1，所以 cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC|66.即BD1 与AC夹角的余弦值为 66.规律方法 利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|a2；(3)cosa，b ab|a|b|.【训练 3】正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，MN 是其内切球 O的一条直径，E 是正方体表面上一点，求EM EN的最大值.解 由极化恒等式的三角形形式得EM EN14(2EO)2MN 2.又因为 MN 是其内切球 O 的一条直径，E 是正方体表面上的动点，所以|MN|2，|EO|3，所以EM EN14(2EO)242，所以EM EN的最大值为 2.