1、第5节 直线、平面垂直的判定及其性质考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理 1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面内的直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.任意(2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直abO l性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线ab两条相交直线lalba平行abb2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它
2、们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直 性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面l垂线ll交线alal常用结论与易错提醒 1.垂直关系的转化 2.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.诊 断 自
3、 测 1.判断下列说法的正误.(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误.
4、答案(1)(2)(3)(4)2.(2020温州适应性测试)设m，n为直线，为平面，则m的一个充分条件可以是()A.，n，mnB.，m C.，mD.n，mn 解析 对于A，直线m与平面可能平行、相交或直线m在平面内，A错误；对于B，由直线垂直于两平行平面中的一个，得该直线垂直于另一个平面，B正确，对于C，直线m与平面可能平行、相交或直线m在平面内，C错误；对于D，直线m与平面可能平行、相交或直线m在平面内，D错误.综上所述，故选B.答案 B 3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()A.mlB.mn C.nlD.mn 解析 因为l，所以l，又n，所以nl
5、，故选C.答案 C 4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1B.A1EBD C.A1EBC1D.A1EAC 解析 如图，由题设知A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1，又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案 C 5.(2020北京顺义区二模)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则()A.若m，则m B.若m，n，则mn C.若m，n，m，n，则 D.若m，n，则mn 解析 在如图 所示的正方体中依次判断各个选项；A选项，面ABCD面ADD1
6、A1，AA1面ABCD，此时AA1面ADD1A1，可知A错误；B选项，m，则内必存在直线，使得ml；又n，则nl，可知nm，可知B正确；C选项，取AA1和DD1中点E和F，可知A1D1面ABCD，EF面ABCD，A1D1，EF面ADD1A1，此时面ADD1A1面ABCD，可知C错误；D选项，AA1面BCC1B1，AD面BCC1B1，此时AA1ADA，可知D错误.答案 B 6.(必修2P67练习2改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.所以OAOBOC，即O为ABC的外心.图
7、1解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，(2)如图2，PCPA，PBPC，PAPBP，图2PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心.答案(1)外(2)垂 考点一 线面垂直的判定与性质【例 1】(2020苏锡常镇四市一调)如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 6，其底面边长为 2.已知点 M，N 分别是棱 A1C1，AC 的中点，点D 是棱 CC1 上靠近 C 的三等
8、分点.求证：(1)B1M平面A1BN；(2)AD平面A1BN.证明(1)连接MN，正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是平行四边形，因为点M，N 分别是棱A1C1，AC的中点，所以MNAA1且MNAA1，又 正三棱 柱 ABC A1B1C1 中AA1BB1 且AA1 BB1，所以MNBB1且MNBB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1MBN，又B1M平面A1BN，BN平面A1BN，所以B1M平面A1BN.(2)正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BN平面ABC，所以BNAA1.在正ABC中，N是AC的中点，所以BNAC，又AA1，AC平面AA1C1C，AA1A
9、CA，所以BN平面AA1C1C，又AD平面AA1C1C，所以ADBN.由题意，AA1 6，AC2，AN1，CD 63，所以AA1ACANCD 62，又A1ANACD2，所以A1ANACD，则AA1NCAD，所以ANA1CADANA1AA1N2，则 ADA1N，又BNA1NN，BN，A1N平面A1BN，所以AD平面A1BN.规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(，a，la，ll).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直
10、的基本思想.【训练 1】如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段AB 上一点，且 AD13DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC，PD平面 ABC，PDDB.求证：PACD.证明 因为AB为圆O的直径，所以ACCB.在 RtABC 中，由 3ACBC 得，ABC30.设 AD1，由 3ADDB 得，DB3，BC2 3.由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考点二 面面垂直的判定与性质【例2】(2018江苏
11、卷)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A
12、1平面A1BC.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD
13、平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因为AC平面ABC，ADAC.考点三 平行与垂直的综合问题 角度1 多面体中平行与垂直关系的证明【例31】(2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.多维探究(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABC
14、D，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以 FGBC，FG12BC.因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DEBC，DE12BC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)
15、垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2 平行垂直中探索性问题【例32】如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点.(1)证明：AE平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明 连接AC交BD于O，连接OF，如图.四边形ABCD是矩形，O为AC的中点，又F为EC的中点，OF为ACE的中位线，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)解 当P为AE中点时，有PMBE，证明如下：取BE中点H，连接D
16、P，PH，CH，P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面.平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H为BE的中点，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以
17、根据相似知识建点.【训练3】(1)(角度1)(2019江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC.求证：A1B1平面DEC1；BEC1E.(2)(角度 2)(2018全国卷)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于 C，D 的点.证明：平面AMD平面BMC；在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由.(1)证明 因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.因为ABBC
18、，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC，所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.(2)证明 由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为 M 为CD 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.解 当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：如图，连接AC，BD，AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.